Etudier une suite définie par une relation de récurrence $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$$ - Exercice 1

$$f$$ est une fonction définie sur $$\left[0;+\infty\right[$$.
$$f$$ est une fonction affine avec un coefficient directeur $$a=\frac{1}{6}>0$$ . La fonction $$f$$ est donc strictement croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_n\le u_{n+1}\le12$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
Nous savons que $$u_{0} =1$$ et $$u_{1} =f\left(u_{0}\right)=\frac{1}{6}\times1+10$$ ainsi $$u_{1}=\frac{61}{6}$$
Ainsi : $$0\le u_0\le u_{1}\le12$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0\le u_k\le u_{k+1}\le12$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_k\le u_{k+1}\le12$$ , or $$f:x\mapsto \frac{1}{6}x+10$$ une fonction croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(0\right)\le f\left(u_k\right)\le f\left(u_{k+1}\right)\le f\left(12\right)$$ .
Nous savons aussi que : $$u_{k+1} =f\left(u_{k}\right)$$ et de ce fait $$u_{k+2} =f\left(u_{k+1}\right)$$ .De plus, $$f\left(0\right)=10$$ et $$f\left(12\right)=12$$
Ainsi :
$$10\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$$
$$0\le10\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$$
Ce qui nous donne maintenant :
$$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$0\le u_n\le u_{n+1}\le12$$ .

D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le12$$.
De ce fait, la suite $$\left(u_n\right)$$ est croissante car $$u_n\le u_{n+1}$$
On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était majorée par $$12$$ car : $$u_{n} \le 12$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.
Cette limite est alors une valeur comprise entre $$0$$ et $$12$$ car pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$0\le u_n\le u_{n+1}\le12$$.

Nous savons que :

La fonction $$f$$ est continue sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ .

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ définie par $$u_{0} =1$$ et $$u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$$ est convergente vers une limite $$l$$ .

D'après le théorème du point fixe, $$l$$ est solution de l'équation $$f\left(x\right)=x$$ .
$$f\left(x\right)=x$$ équivaut successivement à :
$$\frac{1}{6} x+10=x$$
$$\frac{1}{6} x-x=-10$$
$$-\frac{5}{6} x=-10$$
$$x=\frac{-10}{\left(-\frac{5}{6} \right)}$$
$$x=12$$
Ainsi la suite $$\left(u_{n} \right)$$ converge vers $$l=12$$