Etudier une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$

$f$ est une fonction définie sur $\left[0;+\infty\right[$.
$f$ est une fonction affine avec un coefficient directeur $a=\frac{1}{6}>0$ . La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :0\le u_n\le u_{n+1}\le12$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
Nous savons que $u_{0} =1$ et $u_{1} =f\left(u_{0}\right)=\frac{1}{6}\times1+10$ ainsi $u_{1}=\frac{61}{6}$
Ainsi : $0\le u_0\le u_{1}\le12$
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire : $0\le u_k\le u_{k+1}\le12$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire : $0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$
Par hypothèse de récurrence,
$0\le u_k\le u_{k+1}\le12$ , or $f:x\mapsto \frac{1}{6}x+10$ une fonction croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$f\left(0\right)\le f\left(u_k\right)\le f\left(u_{k+1}\right)\le f\left(12\right)$ .
Nous savons aussi que : $u_{k+1} =f\left(u_{k}\right)$ et de ce fait $u_{k+2} =f\left(u_{k+1}\right)$ .De plus, $f\left(0\right)=10$ et $f\left(12\right)=12$
Ainsi :
$10\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$
$0\le10\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$
Ce qui nous donne maintenant :
$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le12$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le u_{n+1}\le12$ .

D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel $n$, on a : $0\le u_n\le u_{n+1}\le12$.
De ce fait, la suite $\left(u_n\right)$ est croissante car $u_n\le u_{n+1}$
On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n} \right)$ était majorée par $12$ car : $u_{n} \le 12$. De plus, la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $\left(u_{n} \right)$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $l$.
Cette limite est alors une valeur comprise entre $0$ et $12$ car pour tout entier naturel $n$, on a : $0\le u_n\le u_{n+1}\le12$.

Nous savons que :

La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ .

La suite $\left(u_{n} \right)$ définie par $u_{0} =1$ et $u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$ est convergente vers une limite $l$ .

D'après le théorème du point fixe, $l$ est solution de l'équation $f\left(x\right)=x$ .
$f\left(x\right)=x$ équivaut successivement à :
$\frac{1}{6} x+10=x$
$\frac{1}{6} x-x=-10$
$-\frac{5}{6} x=-10$
$x=\frac{-10}{\left(-\frac{5}{6} \right)}$
$x=12$
Ainsi la suite $\left(u_{n} \right)$ converge vers $l=12$

$f$ est dérivable sur $\left[0;+\infty\right[$ .
On reconnaît ici $\sqrt{u}$ où $u\left(x\right)=5x+6$. Ainsi $u'\left(x\right)=5$.
Il en résulte que :
Pour tout réel $x\in \left[0;+\infty\right[$, on vérifie aisément que $5>0$ et que $2\sqrt{5x+6}>0$.
Il en résulte donc que tout réel $x\in \left[0;+\infty\right[$, on a : $f'\left(x\right)>0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;+\infty\right[$ .

Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $P_{n} :0\le u_n\le u_{n+1}\le6$
$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$
Nous savons que $u_{0} =1$ et $u_{1} =f\left(u_{0}\right)=\sqrt{5\times0+6}$ ainsi $u_{1}=\sqrt{6}$
Ainsi : $0\le u_0\le u_{1}\le6$
La propriété $P_{0}$ est vraie.
$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$
On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que la propriété $P_{k}$ soit vraie c'est-à-dire : $0\le u_k\le u_{k+1}\le6$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $k+1$ c'est-à-dire : $0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$
Par hypothèse de récurrence,
$0\le u_k\le u_{k+1}\le6$ , or $f:x\mapsto \sqrt{5x+6}$ une fonction croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$f\left(0\right)\le f\left(u_k\right)\le f\left(u_{k+1}\right)\le f\left(6\right)$ .
Nous savons aussi que : $u_{k+1} =f\left(u_{k}\right)$ et de ce fait $u_{k+2} =f\left(u_{k+1}\right)$ .De plus, $f\left(0\right)=\sqrt{6}$ et $f\left(6\right)=6$
Ainsi :
$\sqrt{6}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$
$0\le\sqrt{6}\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$
Ce qui nous donne maintenant :
$0\le u_{k+1}\le u_{k+2}\le6$
Ainsi la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
$\purple{\text{Conclusion}}$
Puisque la propriété $P_{0}$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n}$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le u_{n+1}\le6$ .

D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel $n$, on a : $0\le u_n\le u_{n+1}\le6$.
De ce fait, la suite $\left(u_n\right)$ est croissante car $u_n\le u_{n+1}$
On vient de démontrer que la suite $\left(u_{n} \right)$ était majorée par $6$ car : $u_{n} \le 6$. De plus, la suite $\left(u_{n} \right)$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $\left(u_{n} \right)$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $l$.
Cette limite est alors une valeur comprise entre $0$ et $6$ car pour tout entier naturel $n$, on a : $0\le u_n\le u_{n+1}\le6$.

Nous savons que :

La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\left[0;+\infty\right[$ .

La suite $\left(u_{n} \right)$ définie par $u_{0} =0$ et $u_{n+1} =f\left(u_{n}\right)$ est convergente vers une limite $l$ .

D'après le théorème du point fixe, $l$ est solution de l'équation $f\left(x\right)=x$ .
$f\left(x\right)=x$ équivaut successivement à :
$\sqrt{5x+6} =x$
$\left(\sqrt{5x+6} \right)^{2} =x^{2}$
$5x+6=x^{2}$
$-x^{2} +5x+6=0$
Il s'agit d'une équation du second degré.
Ainsi : $\Delta =5^{2} -4\times \left(-1\right)\times6$
$\Delta =49$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $x{}_{1}$ et $x{}_{2}$ telles que :
$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{1} =\frac{-5-\sqrt{49} }{2\times \left(-1\right)}$ d'où $x{}_{1} =6$
$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $x{}_{2} =\frac{-5+\sqrt{49} }{2\times \left(-1\right)}$ d'où $x{}_{2} =-1$
Les racines de l'équation $-x^{2} +5x+6=0$ sont donc :
Nous savons d'après la question précédente que la limite est une valeur comprise entre $0$ et $6$ car pour tout entier naturel $n$, on a : $0\le u_n\le u_{n+1}\le6$.
Il en résulte que l'on exclut la valeur $-1$.
Ainsi la suite $\left(u_{n} \right)$ converge vers $l=6$.