f est une fonction affine avec un coefficient directeur a=61>0 . La fonction f est donc strictement croissante sur [0;+∞[ .
2
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤12.
Correction
Pour tout entier naturel n, posons la propriété Pn:0≤un≤un+1≤12 Etape d’initialisation Nous savons que u0=1 et u1=f(u0)=61×1+10 ainsi u1=661 Ainsi : 0≤u0≤u1≤12 La propriété P0 est vraie. Etape d’heˊreˊditeˊ On suppose qu'il existe un entier k tel que la propriété Pk soit vraie c'est-à-dire : 0≤uk≤uk+1≤12 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1 c'est-à-dire : 0≤uk+1≤uk+2≤12 Par hypothèse de récurrence, 0≤uk≤uk+1≤12 , orf:x↦61x+10 une fonction croissante sur [0;+∞[. L'ordre est donc conservé , ainsi : f(0)≤f(uk)≤f(uk+1)≤f(12) . Nous savons aussi que : uk+1=f(uk) et de ce fait uk+2=f(uk+1) .De plus, f(0)=10 et f(12)=12 Ainsi : 10≤uk+1≤uk+2≤12 0≤10≤uk+1≤uk+2≤12 Ce qui nous donne maintenant : 0≤uk+1≤uk+2≤12 Ainsi la propriété Pk+1 est vraie. Conclusion Puisque la propriété P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, on a Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel n, 0≤un≤un+1≤12 .
3
La suite (un) converge-t-elle ? Donner un encadrement possible de la limite de la suite (un) .
Correction
D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤12. De ce fait, la suite (un) est croissante car un≤un+1
Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un) était majorée par 12 car : un≤12. De plus, la suite (un) est croissante. D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un) est convergente et admet donc une limite que l'on note l. Cette limite est alors une valeur comprise entre 0 et 12 car pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤12.
4
Si oui, déterminer sa limite.
Correction
Nous savons que :
La fonction f est continue sur l'intervalle [0;+∞[ .
La suite (un) définie par u0=1 et un+1=f(un) est convergente vers une limite l .
D'après le théorème du point fixe, l est solution de l'équation f(x)=x . f(x)=x équivaut successivement à : 61x+10=x 61x−x=−10 −65x=−10 x=(−65)−10 x=12 Ainsi la suite (un) converge vers l=12
Exercice 2
Soit (un) la suite définie par u0=0 et pour tout entier naturel n, on a un+1=f(un) où f est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=5x+6
1
Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur [0;+∞[ .
Correction
f est dérivable sur [0;+∞[ .
(u)′=2uu′
On reconnaît ici u où u(x)=5x+6. Ainsi u′(x)=5. Il en résulte que :
f′(x)=25x+65
Pour tout réel x∈[0;+∞[, on vérifie aisément que 5>0 et que 25x+6>0. Il en résulte donc que tout réel x∈[0;+∞[, on a : f′(x)>0. La fonction f est strictement croissante sur [0;+∞[ .
2
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤6.
Correction
Pour tout entier naturel n, posons la propriété Pn:0≤un≤un+1≤6 Etape d’initialisation Nous savons que u0=1 et u1=f(u0)=5×0+6 ainsi u1=6 Ainsi : 0≤u0≤u1≤6 La propriété P0 est vraie. Etape d’heˊreˊditeˊ On suppose qu'il existe un entier k tel que la propriété Pk soit vraie c'est-à-dire : 0≤uk≤uk+1≤6 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1 c'est-à-dire : 0≤uk+1≤uk+2≤6 Par hypothèse de récurrence, 0≤uk≤uk+1≤6 , orf:x↦5x+6 une fonction croissante sur [0;+∞[. L'ordre est donc conservé , ainsi : f(0)≤f(uk)≤f(uk+1)≤f(6) . Nous savons aussi que : uk+1=f(uk) et de ce fait uk+2=f(uk+1) .De plus, f(0)=6 et f(6)=6 Ainsi : 6≤uk+1≤uk+2≤6 0≤6≤uk+1≤uk+2≤6 Ce qui nous donne maintenant : 0≤uk+1≤uk+2≤6 Ainsi la propriété Pk+1 est vraie. Conclusion Puisque la propriété P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, on a Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel n, 0≤un≤un+1≤6 .
3
La suite (un) converge-t-elle ?
Correction
D'après la question précédente, nous savons que pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤6. De ce fait, la suite (un) est croissante car un≤un+1
Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un) était majorée par 6 car : un≤6. De plus, la suite (un) est croissante. D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un) est convergente et admet donc une limite que l'on note l. Cette limite est alors une valeur comprise entre 0 et 6 car pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤6.
4
Si oui, déterminer sa limite.
Correction
Nous savons que :
La fonction f est continue sur l'intervalle [0;+∞[ .
La suite (un) définie par u0=0 et un+1=f(un) est convergente vers une limite l .
D'après le théorème du point fixe, l est solution de l'équation f(x)=x . f(x)=x équivaut successivement à : 5x+6=x (5x+6)2=x2 5x+6=x2 −x2+5x+6=0 Il s'agit d'une équation du second degré. Ainsi : Δ=52−4×(−1)×6 Δ=49 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−1)−5−49 d'où x1=6 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−1)−5+49 d'où x2=−1 Les racines de l'équation −x2+5x+6=0 sont donc :
S={−1;6}
Nous savons d'après la question précédente que la limite est une valeur comprise entre 0 et 6 car pour tout entier naturel n, on a : 0≤un≤un+1≤6. Il en résulte que l'on exclut la valeur −1. Ainsi la suite (un) converge vers l=6.
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