Continuité

Etudier une suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)

Exercice 1

voir pour ce corrigé édition hatier 263 + exercice similaire livre jaune pas 159 entre le 80 et 85 version 2006
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=f(un)u_{n+1} =f\left(u_{n}\right) où ff est la fonction définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ par f(x)=16x+10f\left(x\right)=\frac{1}{6}x+10
1

Démontrer que la fonction ff est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .

Correction
2

Démontrer que pour tout entier naturel nn, on a : 0≤un≤un+1≤120\le u_n\le u_{n+1}\le12.

Correction
3

La suite (un)\left(u_{n} \right) converge-t-elle ? Donner un encadrement possible de la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
4

Si oui, déterminer sa limite.

Correction

Exercice 2

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=0u_{0} =0 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=f(un)u_{n+1} =f\left(u_{n}\right) où ff est la fonction définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ par f(x)=5x+6f\left(x\right)=\sqrt{5x+6}
1

Démontrer que la fonction ff est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty\right[ .

Correction
2

Démontrer que pour tout entier naturel nn, on a : 0≤un≤un+1≤60\le u_n\le u_{n+1}\le6.

Correction
3

La suite (un)\left(u_{n} \right) converge-t-elle ?

Correction
4

Si oui, déterminer sa limite.

Correction
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