Etudier la continuité d'une fonction en un point $$a$$ - Exercice 4

Sur l'intervalle $$\left]-\infty;2\right[$$, nous avons la fonction $$x \mapsto x^{2}+1$$ qui est une fonction polynôme qui est donc continue sur $$\mathbb{R}$$ et donc en particulier sur l'intervalle $$\left]-\infty;2\right[$$ .

Sur l'intervalle $$\left[2;+\infty\right[$$, nous avons la fonction $$x \mapsto mx-1$$ qui est une fonction affine qui est donc continue sur $$\mathbb{R}$$ et donc en particulier sur l'intervalle $$\left[2;+\infty\right[$$ .

$$f$$ est continue en $$2$$ si et seulement si : $${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{2}}} \\ {x<{\color{blue}{2}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{2}}} \\ {x>{\color{blue}{2}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{2}}\right)$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} x^{2}+1=5$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $${\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} mx-1=2m-1$$

$$\red{\text{Enfin :}}$$ $$f\left(2\right)=2m-1$$

$$f$$ est continue en $$2$$ si et seulement si : $$2m-1=5$$
Ainsi :
$$2m-1=5$$
$$2m=5+1$$
$$2m=6$$
$$m=\frac{6}{2}$$
Ainsi :
La fonction $$f$$ est alors continue en $$2$$ si et seulement si $$m=3$$ .