Nouveau

🤔 Bloqué sur un exercice ou une notion de cours ? Échange avec un prof sur le tchat !Découvrir  →

Etudier la continuité d'une fonction en un point aa - Exercice 4

5 min
20
mm désigne un nombre réel. On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)={x2+1  si  x<2mx−1  si  x≥2f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {x^{2}+1} & {\;\text{si}\;x<2 } \\ {mx-1} & {\;\text{si}\;x\ge2} \end{array}\right.
Question 1

Déterminer la valeur de mm pour laquelle la fonction ff est continue sur R\mathbb{R} .

Correction
  • Sur l'intervalle ]−∞;2[\left]-\infty;2\right[, nous avons la fonction x↦x2+1x \mapsto x^{2}+1 qui est une fonction polynôme qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;2[\left]-\infty;2\right[ .
  • Sur l'intervalle [2;+∞[\left[2;+\infty\right[, nous avons la fonction x↦mx−1x \mapsto mx-1 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle [2;+∞[\left[2;+\infty\right[ .
      • Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Soit a{\color{blue}{a}} un réel appartenant à II .
  • ff est continue en a{\color{blue}{a}} si et seulement si lim⁡x→ax<af(x)=lim⁡x→ax>af(x)=f(a){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x<{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x>{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{a}}\right)

    • ff est continue en 22 si et seulement si : lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x>2f(x)=f(2){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{2}}} \\ {x<{\color{blue}{2}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{2}}} \\ {x>{\color{blue}{2}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{2}}\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x<2x2+1=5{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} x^{2}+1=5
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} lim⁡x→2x>2f(x)=lim⁡x→2x>2mx−1=2m−1{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} mx-1=2m-1
  • Enfin :\red{\text{Enfin :}} f(2)=2m−1f\left(2\right)=2m-1
    • ff est continue en 22 si et seulement si : 2m−1=52m-1=5
    Ainsi :
    2m−1=52m-1=5
    2m=5+12m=5+1
    2m=62m=6
    m=62m=\frac{6}{2}
    Ainsi :
    m=3m=3

    La fonction ff est alors continue en 22 si et seulement si m=3m=3 .

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.