Continuité

Etudier la continuité d'une fonction en un point aa - Exercice 2

4 min
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On considère la fonction ff définie pour tout réel xx par f(x)={x2−2  si  x≤2−2x+6  si  x>2f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {x^{2} -2} & {\;\text{si}\;x\le 2} \\ {-2x+6} & {\;\text{si}\;x>2} \end{array}\right.
Question 1

Démontrer que la fonction ff est continue sur ]−∞;2]\left]-\infty;2\right] et sur ]2;+∞[\left]2;+\infty\right[ .

Correction
  • Sur l'intervalle ]−∞;2]\left]-\infty;2\right], nous avons la fonction x↦x2−2x \mapsto x^{2} -2 qui est une fonction polynôme du second degré qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle ]−∞;2]\left]-\infty;2\right] .
  • Sur l'intervalle ]2;+∞[\left]2;+\infty\right[, nous avons la fonction x↦−2x+6x \mapsto -2x+6 qui est une fonction affine qui est donc continue sur R\mathbb{R} et donc en particulier sur l'intervalle ]2;+∞[\left]2;+\infty\right[ .
    • La fonction ff est donc continue sur ]−∞;2]\left]-\infty;2\right] et sur ]2;+∞[\left]2;+\infty\right[ .
    Question 2

    La fonction ff est-elle continue en 22 ?

    Correction
      Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Soit a{\color{blue}{a}} un réel appartenant à II .
  • ff est continue en a{\color{blue}{a}} si et seulement si lim⁡x→ax<af(x)=lim⁡x→ax>af(x)=f(a){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x<{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to {\color{blue}{a}}} \\ {x>{\color{blue}{a}}} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left({\color{blue}{a}}\right)
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x<2x2−2=2{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} x^{2} -2=2
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} lim⁡x→2x>2f(x)=lim⁡x→2x>2−2x+6=2{\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} -2x+6=2
  • Enfin :\red{\text{Enfin :}} f(2)=−2×2+6=2f\left(2\right)=-2\times 2+6=2
    • Il en résulte donc que :
    lim⁡x→2x<2f(x)=lim⁡x→2x>2f(x)=f(2){\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x<2} \end{array}}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{\begin{array}{l} {x\to 2} \\ {x>2} \end{array}}} f\left(x\right)=f\left(2\right)

    La fonction ff est alors continue en 22 .