Equations de tangentes : rappels

Ici $a=1$, ce qui donne, $y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $f$
$f'\left(x\right)=-2\times 2x+3$
$f'\left(x\right)=-4x+3$
2^ème étape : calculer $f\left(1\right)$
$f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5$
$f\left(1\right)=-4$
3^ème étape : calculer $f'\left(1\right)$
$f'\left(1\right)=-4\times 1+3$
$f'\left(1\right)=-1$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $f\left(1\right)$ et de $f'\left(1\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$
$y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4$
$y=-x+1-4$
$y=-x-3$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ est alors $y=-x-3$.

Ici $a=2$, ce qui donne, $y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $f$
$f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3$
$f'\left(x\right)=-3x^{2} +3$
2^ème étape : calculer $f\left(2\right)$
$f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5$
$f\left(2\right)=-7$
3^ème étape : calculer $f'\left(2\right)$
$f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3$
$f'\left(2\right)=-9$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $f\left(2\right)$ et de $f'\left(2\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$
$y=-9\times \left(x-2\right)-7$
$y=-9x+18-7$
$y=-9x+11$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $2$ est alors $y=-9x+11$

Ici $a=-2$, ce qui donne, $y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right)$ que l'on peut écrire $y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$
1^ère étape : calculer la dérivée de $f$
On reconnaît la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=2x-1$ et $v\left(x\right)=4x+3$
Ainsi : $u'\left(x\right)=2$ et $v'\left(x\right)=4$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x+3\right)-\left(2x-1\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{2\times 4x+2\times 3-\left(2x\times 4-1\times 4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-\left(8x-4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-8x+4}{\left(4x+3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(4x+3\right)^{2} }$
2^ème étape : calculer $f\left(-2\right)$
$f\left(-2\right)=\frac{2\times\left(-2\right)-1}{4\times\left(-2\right)+3}$
$f\left(-2\right)=1$
3^ème étape : calculer $f'\left(-2\right)$
$f'\left(-2\right)=\frac{10}{\left(4\times\left(-2\right)+3\right)^{2} }$
$f'\left(-2\right)=\frac{2}{5}$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $f\left(-2\right)$ et de $f'\left(-2\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$
$y=\frac{2}{5}\times \left(x+2\right)+1$
$y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+1$
$y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $-2$ est alors $y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$.