Equations de tangentes : rappels - Exercice 1

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-2\times 2x+3$$
$$f'\left(x\right)=-4x+3$$
2^ème étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5$$
$$f\left(1\right)=-4$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-4\times 1+3$$
$$f'\left(1\right)=-1$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4$$
$$y=-x+1-4$$
$$y=-x-3$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-x-3$$.

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
$$f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3$$
$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +3$$
2^ème étape : calculer $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5$$
$$f\left(2\right)=-7$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(2\right)$$
$$f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3$$
$$f'\left(2\right)=-9$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=-9\times \left(x-2\right)-7$$
$$y=-9x+18-7$$
$$y=-9x+11$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors $$y=-9x+11$$

Ici $$a=-2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(-2\right)\left(x-\left(-2\right)\right)+f\left(-2\right)$$ que l'on peut écrire $$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$
1^ère étape : calculer la dérivée de $$f$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x-1$$ et $$v\left(x\right)=4x+3$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=4$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(4x+3\right)-\left(2x-1\right)\times 4}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times 4x+2\times 3-\left(2x\times 4-1\times 4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-\left(8x-4\right)}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{8x+6-8x+4}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{10}{\left(4x+3\right)^{2} }$$
2^ème étape : calculer $$f\left(-2\right)$$
$$f\left(-2\right)=\frac{2\times\left(-2\right)-1}{4\times\left(-2\right)+3}$$
$$f\left(-2\right)=1$$
3^ème étape : calculer $$f'\left(-2\right)$$
$$f'\left(-2\right)=\frac{10}{\left(4\times\left(-2\right)+3\right)^{2} }$$
$$f'\left(-2\right)=\frac{2}{5}$$
4^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(-2\right)$$ et de $$f'\left(-2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$
$$y=\frac{2}{5}\times \left(x+2\right)+1$$
$$y=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}+1$$
$$y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$-2$$ est alors $$y=\frac{2}{5}x+\frac{9}{5}$$.