Epreuve d'enseignement de spécialité Session Métropole 8 juin 2021 sujet 2 Exercice B - Exercice 1

On va établir le tableau de signe de $$f'$$ et on aura ainsi les variations de $$f$$.
On remarque grâce au tableau de variation de $$f'$$ que :

• $$f'$$ est positive sur $$\left]-\infty;-1\right]$$ donc que $$f$$ est croissante sur $$\left]-\infty;-1\right]$$
• $$f'$$ est négative sur $$\left[-1;+\infty\right[$$ donc que $$f$$ est décroissante sur $$\left[-1;+\infty\right[$$.

Ce qui donne :

D'après la représentation graphique, on vérifie facilement que :

• $$f'$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left]-\infty;0\right]$$ ainsi $$f$$ est concave sur l'intervalle $$\left]-\infty;0\right]$$.
• $$f'$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ ainsi $$f$$ est convexe sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ .

$$f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{-x}$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\left(x+2\right)\times \frac{1}{e^{x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{x+2}{e^{x} }$$
$$f\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} } +\frac{2}{e^{x} }$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } -x={\color{blue}-\infty}$$.
On pose $$X=-x$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}-\infty}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty} } 2e^{X} ={\color{green}0}$$.
Par composition :
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x}}{x } =+\infty$$ alors $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{e^{x} } =0$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x}{e^{x} }} & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2e^{-x} } & {=} & {0 } \end{array}\right\}{\red{\text{par somme :}}}$$La courbe $$C_{f}$$ admet au voisinage de $$+\infty$$ une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$.

Soit $$f\left(x\right)=\left(x+2\right)e^{-x}$$. $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x+2$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +\left(x+2\right)\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}} -2{\color{blue}{e^{-x}}}$$
$$f'\left(x\right)= -x{\color{blue}{e^{-x}}} -{\color{blue}{e^{-x}}}$$
Ainsi :

Pour tout $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que $$e^{-x}>0$$ .
Le signe de $$f'$$ dépend alors de $$-1-x$$ .
$$-1-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge 1\Leftrightarrow x\le -1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-1-x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$-1$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-1;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :
$$f\left(-1\right)=\left(-1+2\right)e^{-\left(-1\right)} \Leftrightarrow f\left(-1\right)=e$$

Commençons par calculer $$f\left(-2\right)$$
$$f\left(-2\right)=\left(-2+2\right)e^{-\left(-2\right)} \Leftrightarrow f\left(-2\right)=0$$
Sur $$\left[-2;-1\right]$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$f\left(-2\right)=0$$ et $$f\left(-1\right)=e$$ .
Or $$2\in \left[-2;-1\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à l'intervalle $$\left[-2;-1\right]$$ tel que $$f\left(x\right)=2$$.
A la calculatrice, on vérifie que :
$$f\left(1,6\right)\approx1,9812$$ et $$f\left(1,7\right)\approx2,2408$$
Or $$2 \in \left[1,9812;2,2408\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que : $$1,6\le\alpha\le1,7$$

Soit $$x\in \mathbb{R}$$ .
Nous savons que $$f'\left(x\right)=e^{-x} \left(-1-x\right)$$
Nous allons calculer $$f''$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$v\left(x\right)=-1-x$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-e^{-x}$$ et $$v'\left(x\right)=-1$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=\left(-e^{-x} \right)\times \left(-1-x\right)+e^{-x} \times \left(-1\right)$$
$$f''\left(x\right)=\left(-e^{-x} \right)\times \left(-1\right)+\left(-e^{-x} \right)\times \left(-x\right)-e^{-x}$$
$$f''\left(x\right)=e^{-x} +xe^{-x} -e^{-x}$$
Ainsi :
Pour tout $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que $$e^{-x}>0$$ .
Le signe de $$f''$$ dépend alors de $$x$$ .
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$x$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$0$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ alors $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[0;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :En $$x = 0$$, la dérivée seconde s’annule et change de signe donc le point $$A$$ d’abscisse $$0$$ de $$\mathscr{C_f}$$ est le $$\text{\red{point d’inflexion}}$$ de cette courbe.