Nouveau

🤔 Bloqué sur un exercice ou une notion de cours ? Échange avec un prof sur le tchat !Découvrir  →

Schéma de composition - Exercice 2

6 min
15
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(x2+2)f\left(x\right)=\sin\left(x^{2}+2\right)
Question 1

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼ux2+2⏟X⟼vsin⁡(X)=sin⁡(x2+2)\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{x^{2}+2}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {{\sin\left(\purple{X}\right)} =\sin\left(x^{2}+2\right) } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x2+2\red{u\left(x\right)}=x^{2}+2 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=sin⁡(x)\blue{v\left(x\right)}=\sin\left(x\right) . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 2
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(−5x+7)3f\left(x\right)=\left(-5x+7\right)^{3}

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼u−5x+7⏟X⟼vX3=(−5x+7)3\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{-5x+7}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {{\purple{X^{3}}} =\left(-5x+7\right)^{3} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=−5x+7\red{u\left(x\right)}=-5x+7 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=x3\blue{v\left(x\right)}=x^{3} . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 3
Soit ff la fonction définie sur R−{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} par f(x)=e1x−5f\left(x\right)=e^{\frac{1}{x-5}}

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼u1x−5⏟X⟼veX=e1x−5\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{\frac{1}{x-5}}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{\frac{1}{x-5}} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R−{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} par u(x)=1x−5\red{u\left(x\right)}=\frac{1}{x-5} et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=ex\blue{v\left(x\right)}=e^{x} .
Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R−{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} .

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.