Compléments sur la dérivation et la convexité

Schéma de composition - Exercice 2

6 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin(x2+2)f\left(x\right)=\sin\left(x^{2}+2\right)
Question 1

Décomposer ff sous la forme vuv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
xux2+2Xvsin(X)=sin(x2+2)\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{x^{2}+2}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {{\sin\left(\purple{X}\right)} =\sin\left(x^{2}+2\right) } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(vu)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x2+2\red{u\left(x\right)}=x^{2}+2 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=sin(x)\blue{v\left(x\right)}=\sin\left(x\right) . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 2
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(5x+7)3f\left(x\right)=\left(-5x+7\right)^{3}

Décomposer ff sous la forme vuv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
xu5x+7XvX3=(5x+7)3\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{-5x+7}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {{\purple{X^{3}}} =\left(-5x+7\right)^{3} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(vu)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=5x+7\red{u\left(x\right)}=-5x+7 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=x3\blue{v\left(x\right)}=x^{3} . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 3
Soit ff la fonction définie sur R{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} par f(x)=e1x5f\left(x\right)=e^{\frac{1}{x-5}}

Décomposer ff sous la forme vuv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
xu1x5XveX=e1x5\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{\frac{1}{x-5}}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{\frac{1}{x-5}} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(vu)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right)u\red{u} est la fonction définie sur R{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} par u(x)=1x5\red{u\left(x\right)}=\frac{1}{x-5} et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=ex\blue{v\left(x\right)}=e^{x} .
Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R{5}\mathbb{R}-\left\{5\right\} .