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Schéma de composition - Exercice 1

8 min
20
Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e2x+3f\left(x\right)=e^{2x +3}

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼u2x+3⏟X⟼veX=e2x+3\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{2x+3}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{2x+3} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=2x+3\red{u\left(x\right)}=2x +3 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=ex\blue{v\left(x\right)}=e^{x} . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 2
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+1f\left(x\right)=\sqrt{x^{2} +1}

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼ux2+1⏟X⟼vX=x2+1\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{x^{2}+1}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {\sqrt{\purple{X}} =\sqrt{x^{2}+1} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=x2+1\red{u\left(x\right)}=x^{2} +1 et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=x\blue{v\left(x\right)}=\sqrt{x} . Il en résulte donc que ff est aussi définie sur R\mathbb{R} .
Question 3
Soit ff la fonction définie sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} par f(x)=exx−1f\left(x\right)=e^{\frac{x}{x-1}}

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼uxx−1⏟X⟼veX=exx−1\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\frac{x}{\underbrace{x-1}_{} } } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {e^{\purple{X}} =e^{\frac{x}{x-1}} } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} par u(x)=xx−1\red{u\left(x\right)}=\frac{x}{x-1} et v\blue{v} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par v(x)=ex\blue{v\left(x\right)}=e^{x} . Il en résulte donc que ff est définie sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} .
Question 4
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(5x2+x+10)f\left(x\right)=\ln\left(5x^{2}+x+10\right)

Décomposer ff sous la forme v∘uv\circ u en précisant les fonctions uu et vv.

Correction
x⟼u5x2+x+10⏟X⟼vln⁡(X)=ln⁡(5x2+x+10)\begin{array}{ccccc} {x} & {\overset{\red{u}}{\longmapsto}} & {\underbrace{5x^{2}+x+10}_{} } & {} & {} \\ {} & {} & {\purple{X}} & {\overset{\blue{v}}{\longmapsto} } & {\ln\left({\purple{X}}\right)=\ln\left(5x^{2}+x+10\right) } \\ \end{array}
Nous avons donc f(x)=(v∘u)(x)f\left(x\right)=\left(\blue{v}\circ \red{u}\right)\left(x\right) où u\red{u} est la fonction définie sur R\mathbb{R} par u(x)=5x2+x+10\red{u\left(x\right)}=5x^{2}+x+10 et v\blue{v} est la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ par v(x)=ln⁡(x)\blue{v\left(x\right)}=\ln\left(x\right) . Il en résulte donc que ff est définie sur R\mathbb{R} .

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