Compléments sur la dérivation et la convexité

Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 4

10 min
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Question 1
La fonction ff est définie sur ]5;5[\left]-5;5 \right[ par : f(x)=(x+5)25x2f\left(x\right)=\left(x+5\right)\sqrt{25-x^{2} }. On note Cf\mathscr{C_{f}} la courbe représentative de la fonction ff.

Pour tout réel xx appartenant à ]5;5[\left]-5;5 \right[ , calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
ff est dérivable sur ]5;5[\left]-5;5 \right[.
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv+w\left(uv\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=x+5u\left(x\right)=x+5 et v(x)=25x2v\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} } .
Ainsi : u(x)=1u'\left(x\right)=1 et v(x)=2x225x2v'\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2} }}.
Il en résulte que :
f(x)=1×25x2+(x+5)×2x225x2f'\left(x\right)=1\times \sqrt{25-x^{2} } +\left(x+5\right)\times \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=25x2+(x+5)×x25x2f'\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} } +\left(x+5\right)\times \frac{-x}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=25x2+x×(x+5)25x2f'\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } } . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
f(x)=25x2×25x225x2+x×(x+5)25x2f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{25-x^{2} } \times \sqrt{25-x^{2} } }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=(25x2)225x2+x×(x+5)25x2f'\left(x\right)=\frac{\left(\sqrt{25-x^{2} } \right)^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=25x225x2+x×(x+5)25x2f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=25x225x2+x25x25x2f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x^{2} -5x}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=25x2x25x25x2f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} -x^{2} -5x}{\sqrt{25-x^{2} } }
f(x)=2x25x+2525x2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} -5x+25}{\sqrt{25-x^{2} } }

Question 2

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
Nous savons que f(x)=2x25x+2525x2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} -5x+25}{\sqrt{25-x^{2} } }.
Pour tout réel xx appartenant à ]5;5[\left]-5;5 \right[, on vérifie facilement que 25x2>0\sqrt{25-x^{2} }>0. Le signe de ff' dépend alors du numérateur 2x25x+25-2x^{2} -5x+25. Il s'agit d'un trinôme du second degré.
Ainsi : Δ=225\Delta = 225 , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : x1=52x_{1} = \frac{5}{2} et x2=5x_{2} = -5.
Comme a=2<0a=-2<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.