Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-5;5 \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x+5$$ et $$v\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} }$$ .
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2} }}$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=1\times \sqrt{25-x^{2} } +\left(x+5\right)\times \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} } +\left(x+5\right)\times \frac{-x}{\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\sqrt{25-x^{2} } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{25-x^{2} } \times \sqrt{25-x^{2} } }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(\sqrt{25-x^{2} } \right)^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x\times \left(x+5\right)}{\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} }{\sqrt{25-x^{2} } } +\frac{-x^{2} -5x}{\sqrt{25-x^{2} } }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{25-x^{2} -x^{2} -5x}{\sqrt{25-x^{2} } }$$

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} -5x+25}{\sqrt{25-x^{2} } }$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left]-5;5 \right[$$, on vérifie facilement que $$\sqrt{25-x^{2} }>0$$. Le signe de $$f'$$ dépend alors du numérateur $$-2x^{2} -5x+25$$. Il s'agit d'un trinôme du second degré.
Ainsi : $$\Delta = 225$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = \frac{5}{2}$$ et $$x_{2} = -5$$.
Comme $$a=-2<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.