Compléments sur la dérivation et la convexité

Problèmes utilisant la fonction racine carré - Exercice 1

20 min
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La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }
Question 1

Déterminer la limite de ff en −∞-\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞1x2+1\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{1}{x^{2} +1} . Ainsi : lim⁡x→−∞1x2+1=0\lim\limits_{x\to -\infty } \frac{1}{x^{2} +1}=0
On pose X=1x2+1X=\frac{1}{x^{2} +1}. Lorsque xx tend vers −∞-\infty alors XX tend vers 00.
Or : lim⁡X→0X=0=0\lim\limits_{X\to 0} \sqrt{X }=\sqrt{0}=0
Par composition :
lim⁡x→−∞1x2+1=0\lim\limits_{x\to -\infty } \sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }=0

Interprétation graphique : la courbe CfC_{f} admet une asymptote horizontale d'équation y=0y=0.
Question 2

Déterminer la limite de ff en +∞+\infty. Que peut-on en déduire graphiquement?

Correction
Si lim⁡x→+∞f(x)=l\lim\limits_{x\to +\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Si lim⁡x→−∞f(x)=l\lim\limits_{x\to -\infty } f(x) =l où ll est une valeur finie alors la fonction ff admet une asymptote horizontale d'équation y=ly=l
Il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→+∞1x2+1\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x^{2} +1} . Ainsi : lim⁡x→+∞1x2+1=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x^{2} +1}=0
On pose X=1x2+1X=\frac{1}{x^{2} +1}. Lorsque xx tend vers +∞+\infty alors XX tend vers 00.
Or : lim⁡X→0X=0=0\lim\limits_{X\to 0} \sqrt{X }=\sqrt{0}=0
Par composition :
lim⁡x→+∞1x2+1=0\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }=0

Interprétation graphique : la courbe CfC_{f} admet une asymptote horizontale d'équation y=0y=0.
Question 3
On admet que hh est dérivable sur R\mathbb{R}.

Calculer la dérivée de hh sachant que : h(x)=1x2+1h\left(x\right)=\frac{1}{x^{2} +1}

Correction

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On pose avec u(x)=1u\left(x\right)=1 et v(x)=1+x2v\left(x\right)=1+x^{2}
Ainsi : u′(x)=0u'\left(x\right)=0 et v′(x)=2xv'\left(x\right)=2x
Il vient alors que :
h′(x)=0×(1+x2)−1×2x(1+x2)2h'\left(x\right)=\frac{0\times \left(1+x^{2} \right)-1\times 2x}{\left(1+x^{2} \right)^{2} }
Finalement :
h′(x)=−2x(1+x2)2h'\left(x\right)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2} \right)^{2}}

Question 4
On admet que ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }

Calculer f′(x)f'\left(x\right) pour tout réel xx, étudier son signe et en déduire le tableau de variation complet de ff.

Correction
(u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
La fonction ff est définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} } que l'on peut écrire f(x)=h(x)f\left(x\right)=\sqrt{h\left(x\right)} où hh est la fonction traitée à la question 3. En appliquant la formule, on aura : (h)′=h′2h\left(\sqrt{h} \right)^{'} =\frac{h'}{2\sqrt{h} }.
Ainsi : f′(x)=−2x(1+x2)2211+x2f'\left(x\right)=\frac{\frac{-2x}{\left(1+x^{2} \right)^{2} } }{2\sqrt{\frac{1}{1+x^{2} } } }
Finalement :
f′(x)=−x(1+x2)211+x2f'\left(x\right)=\frac{-x}{\left(1+x^{2} \right)^{2} \sqrt{\frac{1}{1+x^{2} } } }

Pour tout réel xx, on vérifie aisément que 1x2+1>0\sqrt{\frac{1}{x^{2} +1} }>0 et que (1+x2)2>0\left(1+x^{2} \right)^{2}>0
Donc la dérivée f′f' est du signe de son numérateur −x-x.
Ainsi , lorsque x>0x>0 alors −x<0-x<0 et lorsque x<0x<0 alors −x>0-x>0. Le numérateur s'annule donc pour x=0x=0.
Nous allons traduire l'ensemble de ces données dans un tableau de variation complet, il vient alors que :