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Les dérivées composées : La forme unu^{n} - Exercice 2

20 min
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Dérivées avec les puissances.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=(x+1)3f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{3}

Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et n=3n=3. Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×1×(x+1)3−1f'\left(x\right)=3\times 1\times \left(x+1\right)^{3-1}
    f′(x)=3×1×(x+1)2f'\left(x\right)=3\times 1\times \left(x+1\right)^{2}
    Finalement :
    f′(x)=3(x+1)2f'\left(x\right)=3\left(x+1\right)^{2}
    Question 2

    f(x)=3(−3x+2)5f\left(x\right)=3\left(-3x+2\right)^{5}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=−3x+2u\left(x\right)=-3x+2 et n=5n=5. Ainsi u′(x)=−3u'\left(x\right)=-3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×5×(−3)×(−3x+2)5−1f'\left(x\right)=3\times 5\times \left(-3\right)\times \left(-3x+2\right)^{5-1}
    f′(x)=3×5×(−3)×(−3x+2)4f'\left(x\right)=3\times 5\times \left(-3\right)\times \left(-3x+2\right)^{4}
    Finalement :
    f′(x)=−45(−3x+2)4f'\left(x\right)=-45\left(-3x+2\right)^{4}
    Question 3

    f(x)=5(x2+3x+1)6f\left(x\right)=5\left(x^{2}+3x+1\right)^{6}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=x2+3x+1u\left(x\right)=x^{2}+3x+1 et n=6n=6. Ainsi u′(x)=2x+3u'\left(x\right)=2x+3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×6×(2x+3)×(x2+3x+1)6−1f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(2x+3\right)\times \left(x^{2} +3x+1\right)^{6-1}
    f′(x)=5×6×(2x+3)×(x2+3x+1)5f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(2x+3\right)\times \left(x^{2} +3x+1\right)^{5}
    f′(x)=30×(2x+3)×(x2+3x+1)5f'\left(x\right)=30\times \left(2x+3\right)\times \left(x^{2} +3x+1\right)^{5}
    Finalement :
    f′(x)=(60x+90)(x2+3x+1)5f'\left(x\right)=\left(60x+90\right)\left(x^{2} +3x+1\right)^{5}
    Question 4

    f(x)=1(4x−3)6f\left(x\right)=\frac{1}{\left(4x-3\right)^{6} }

    Correction
  • 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}

    • ff est dérivable pour tout réel xx tant que 4x−3≠04x-3\ne0
    4x−3≠0⇔4x≠3⇔x≠344x-3\ne 0\Leftrightarrow 4x\ne 3\Leftrightarrow x\ne \frac{3}{4}
    ff est alors dérivable sur ]−∞;34[∪]34,+∞[\left]-\infty ;\frac{3}{4} \right[\cup \left]\frac{3}{4} ,+\infty \right[
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=(4x−3)−6f\left(x\right)=\left(4x-3\right)^{-6} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=4x−3u\left(x\right)=4x-3 et n=−6n=-6. Ainsi u′(x)=4u'\left(x\right)=4.
    Il en résulte que :
    f′(x)=(−6)×4×(4x−3)−6−1f'\left(x\right)=\left(-6\right)\times 4\times \left(4x-3\right)^{-6-1}
    f′(x)=(−6)×4×(4x−3)−7f'\left(x\right)=\left(-6\right)\times 4\times \left(4x-3\right)^{-7}
    f′(x)=−24×(4x−3)−7 f'\left(x\right)=-24\times \left(4x-3\right)^{-7}
    Finalement :
    f′(x)=−24(4x−3)7f'\left(x\right)=\frac{-24}{\left(4x-3\right)^{7} }
    Question 5

    f(x)=5(3x+7)4f\left(x\right)=\frac{5}{\left(3x+7\right)^{4} }

    Correction
  • 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}

    • ff est dérivable pour tout réel xx tant que 3x+7≠03x+7\ne0
    3x+7≠0⇔3x≠−7⇔x≠−373x+7\ne 0\Leftrightarrow 3x\ne -7\Leftrightarrow x\ne -\frac{3}{7}
    ff est alors dérivable sur ]−∞;−37[∪]−37,+∞[\left]-\infty ;-\frac{3}{7} \right[\cup \left]-\frac{3}{7} ,+\infty \right[
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=5(3x+7)−4f\left(x\right)=5\left(3x+7\right)^{-4} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=3x+7u\left(x\right)=3x+7 et n=−4n=-4. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×(−4)×3×(3x+7)−4−1f'\left(x\right)=5\times \left(-4\right)\times 3\times \left(3x+7\right)^{-4-1}
    f′(x)=5×(−4)×3×(3x+7)−5f'\left(x\right)=5\times \left(-4\right)\times 3\times \left(3x+7\right)^{-5}
    f′(x)=−60×(3x+7)−5 f'\left(x\right)=-60\times \left(3x+7\right)^{-5}
    Finalement :
    f′(x)=−60(3x+7)5f'\left(x\right)=\frac{-60}{\left(3x+7\right)^{5} }
    Question 6

    f(x)=cos⁡6(x)f\left(x\right)=\cos ^{6} \left(x\right)

    Correction
  • (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=(cos⁡(x))6f\left(x\right)=\left(\cos \left(x\right)\right)^{6}
    On reconnait ici unu^{n} où u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et n=6n=6. Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=6×(−sin⁡(x))×(cos⁡(x))6−1f'\left(x\right)=6\times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{6-1}
    f′(x)=6×(−sin⁡(x))×(cos⁡(x))5f'\left(x\right)=6\times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{5}
    Finalement :
    f′(x)=−6sin⁡(x)×(cos⁡(x))5f'\left(x\right)=-6\sin \left(x\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{5}
    Question 7

    f(x)=(4x3−7x2+8)7f\left(x\right)=\left(4x^{3}-7x^{2}+8\right)^{7}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=4x3−7x2+8u\left(x\right)=4x^{3}-7x^{2}+8 et n=7n=7. Ainsi u′(x)=12x2−14xu'\left(x\right)=12x^{2}-14x.
    Il en résulte que :
    f′(x)=7×(12x2−14x)×(4x3−7x2+8)7−1f'\left(x\right)=7\times \left(12x^{2} -14x\right)\times \left(4x^{3} -7x^{2} +8\right)^{7-1}
    f′(x)=7×(12x2−14x)×(4x3−7x2+8)6f'\left(x\right)=7\times \left(12x^{2} -14x\right)\times \left(4x^{3} -7x^{2} +8\right)^{6}
    Finalement :
    f′(x)=(84x2−98x)×(4x3−7x2+8)6f'\left(x\right)=\left(84x^{2} -98x\right)\times \left(4x^{3} -7x^{2} +8\right)^{6}
    Question 8

    f(x)=(3sin⁡(x)+10)9f\left(x\right)=\left(3\sin \left(x\right)+10\right)^{9}

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnait ici unu^{n} où u(x)=3sin⁡(x)+10u\left(x\right)=3\sin \left(x\right)+10 et n=9n=9. Ainsi u′(x)=3cos⁡(x)u'\left(x\right)=3\cos \left(x\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=9×(3cos⁡(x))×(3sin⁡(x)+10)9−1f'\left(x\right)=9\times \left(3\cos \left(x\right)\right)\times\left(3\sin \left(x\right)+10\right)^{9-1}
    f′(x)=9×(3cos⁡(x))×(3sin⁡(x)+10)8f'\left(x\right)=9\times \left(3\cos \left(x\right)\right)\times\left(3\sin \left(x\right)+10\right)^{8}
    Finalement :
    f′(x)=27cos⁡(x)(3sin⁡(x)+10)8f'\left(x\right)=27\cos \left(x\right)\left(3\sin \left(x\right)+10\right)^{8}

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