Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme unu^{n} - Exercice 1

20 min
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Dérivées avec les puissances.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=(3x+2)4f\left(x\right)=\left(3x+2\right)^{4}

Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et n=4n=4. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=4×3×(3x+2)4−1f'\left(x\right)=4\times 3\times \left(3x+2\right)^{4-1}
    f′(x)=4×3×(3x+2)3f'\left(x\right)=4\times 3\times \left(3x+2\right)^{3}
    Finalement :
    f′(x)=12(3x+2)3f'\left(x\right)=12\left(3x+2\right)^{3}
    Question 2

    f(x)=2(5x+4)8f\left(x\right)=2\left(5x+4\right)^{8}

    Correction
    Question 3

    f(x)=5(−2x+1)6f\left(x\right)=5\left(-2x+1\right)^{6}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=−2x+1u\left(x\right)=-2x+1 et n=6n=6. Ainsi u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×6×(−2)×(−2x+1)6−1f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(-2\right)\times \left(-2x+1\right)^{6-1}
    f′(x)=5×6×(−2)×(−2x+1)5f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(-2\right)\times \left(-2x+1\right)^{5}
    Finalement :
    f′(x)=−60(−2x+1)5f'\left(x\right)=-60\left(-2x+1\right)^{5}
    Question 4

    f(x)=3(2x2+5x+2)7f\left(x\right)=3\left(2x^{2}+5x+2\right)^{7}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=2x2+5x+2u\left(x\right)=2x^{2}+5x+2 et n=7n=7. Ainsi u′(x)=4x+5u'\left(x\right)=4x+5.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×7×(4x+5)×(2x2+5x+2)7−1f'\left(x\right)=3\times 7\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{7-1}
    f′(x)=3×7×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=3\times 7\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    f′(x)=21×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=21\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    Finalement :
    f′(x)=(84x+105)(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=\left(84x+105\right)\left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    Question 5

    f(x)=1(8x−6)4f\left(x\right)=\frac{1}{\left(8x-6\right)^{4} }

    Correction
  • 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable pour tout réel xx tant que 8x−6≠08x-6\ne0
    8x+6≠0⇔8x≠−6⇔x≠−68⇔x≠−348x+6\ne 0\Leftrightarrow 8x\ne -6\Leftrightarrow x\ne -\frac{6}{8} \Leftrightarrow x\ne -\frac{3}{4}
    ff est alors dérivable sur ]−∞;−34[∪]−34,+∞[\left]-\infty ;-\frac{3}{4} \right[\cup \left]-\frac{3}{4} ,+\infty \right[
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=(8x−6)−4f\left(x\right)=\left(8x-6\right)^{-4} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=8x−6u\left(x\right)=8x-6 et n=−4n=-4. Ainsi u′(x)=8u'\left(x\right)=8.
    Il en résulte que :
    f′(x)=(−4)×8×(8x−6)−4−1f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times 8\times \left(8x-6\right)^{-4-1}
    f′(x)=(−4)×8×(8x−6)−5f'\left(x\right)=\left(-4\right)\times 8\times \left(8x-6\right)^{-5}
    f′(x)=−32×(8x−6)−5 f'\left(x\right)=-32\times \left(8x-6\right)^{-5}
    Finalement :
    f′(x)=−32(8x−6)5f'\left(x\right)=\frac{-32}{\left(8x-6\right)^{5} }
    Question 6

    f(x)=4(2x+1)3f\left(x\right)=\frac{4}{\left(2x+1\right)^{3} }

    Correction
  • 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable pour tout réel xx tant que 2x+1≠02x+1\ne0
    2x+1≠0⇔2x≠−1⇔x≠−122x+1\ne 0\Leftrightarrow 2x\ne -1\Leftrightarrow x\ne -\frac{1}{2}
    ff est alors dérivable sur ]−∞;−12[∪]−12,+∞[\left]-\infty ;-\frac{1}{2} \right[\cup \left]-\frac{1}{2} ,+\infty \right[
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=4(2x+1)−3f\left(x\right)=4\left(2x+1\right)^{-3} car : 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=2x+1u\left(x\right)=2x+1 et n=−3n=-3. Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2.
    Il en résulte que :
    f′(x)=4×(−3)×2×(2x+1)−3−1f'\left(x\right)=4\times \left(-3\right)\times 2\times \left(2x+1\right)^{-3-1}
    f′(x)=4×(−3)×2×(2x+1)−4f'\left(x\right)=4\times \left(-3\right)\times 2\times \left(2x+1\right)^{-4}
    f′(x)=−24×(2x+1)−4 f'\left(x\right)=-24\times \left(2x+1\right)^{-4}
    Finalement :
    f′(x)=−24(2x+1)4f'\left(x\right)=\frac{-24}{\left(2x+1\right)^{4} }
    Question 7

    f(x)=cos⁡3(x)f\left(x\right)=\cos ^{3} \left(x\right)

    Correction
  • (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On peut écrire ff sous la forme f(x)=(cos⁡(x))3f\left(x\right)=\left(\cos \left(x\right)\right)^{3}
    On reconnait ici unu^{n} où u(x)=cos⁡(x)u\left(x\right)=\cos \left(x\right) et n=3n=3. Ainsi u′(x)=−sin⁡(x)u'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×(−sin⁡(x))×(cos⁡(x))3−1f'\left(x\right)=3\times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{3-1}
    f′(x)=3×(−sin⁡(x))×(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=3\times \left(-\sin \left(x\right)\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}
    Finalement :
    f′(x)=−3sin⁡(x)×(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=-3\sin \left(x\right)\times \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}

    Question 8

    f(x)=(6x3−5x2+7)9f\left(x\right)=\left(6x^{3}-5x^{2}+7\right)^{9}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=6x3−5x2+7u\left(x\right)=6x^{3}-5x^{2}+7 et n=9n=9. Ainsi u′(x)=18x2−10xu'\left(x\right)=18x^{2}-10x.
    Il en résulte que :
    f′(x)=9×(18x2−10x)×(6x3−5x2+7)9−1f'\left(x\right)=9\times \left(18x^{2} -10x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{9-1}
    f′(x)=9×(18x2−10x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=9\times \left(18x^{2} -10x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}
    Finalement :
    f′(x)=(162x2−90x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=\left(162x^{2} -90x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}
    Question 9

    f(x)=(2sin⁡(x)+4)5f\left(x\right)=\left(2\sin \left(x\right)+4\right)^{5}

    Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    On reconnait ici unu^{n} où u(x)=2sin⁡(x)+4u\left(x\right)=2\sin \left(x\right)+4 et n=5n=5. Ainsi u′(x)=2cos⁡(x)u'\left(x\right)=2\cos \left(x\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×(2cos⁡(x))×(2sin⁡(x)+4)5−1f'\left(x\right)=5\times \left(2\cos \left(x\right)\right)\times\left(2\sin \left(x\right)+4\right)^{5-1}
    f′(x)=5×(2cos⁡(x))×(2sin⁡(x)+4)4f'\left(x\right)=5\times \left(2\cos \left(x\right)\right)\times\left(2\sin \left(x\right)+4\right)^{4}
    Finalement :
    f′(x)=10cos⁡(x)(2sin⁡(x)+4)4f'\left(x\right)=10\cos \left(x\right)\left(2\sin \left(x\right)+4\right)^{4}