Les dérivées composées : La forme $\sqrt{u}$ - Exercice 3

15 min

On considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle

I

. On ne vous demande pas de déterminer

I

.
Calculer la dérivée de la fonction

f

Question 1

$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} }$

Correction

D'après l'énoncé, on sait que

f

est dérivable sur

I

\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

On pose :

g\left(x\right)=\frac{1+x}{1-x}

On reconnaît la forme

\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }

avec

u\left(x\right)=1+x

v\left(x\right)=1-x

.
Ainsi

u'\left(x\right)=1

v'\left(x\right)=-1

Il vient alors que :

g'\left(x\right)=\frac{1\times \left(1-x\right)-\left(1+x\right)\times \left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2} }

g'\left(x\right)=\frac{1-x-\left(-1-x\right)}{\left(1-x\right)^{2} }

g'\left(x\right)=\frac{1-x+1+x}{\left(1-x\right)^{2} }

g'\left(x\right)=\frac{2}{\left(1-x\right)^{2} }

Nous pouvons maintenant calculer la dérivée de

f

.
Nous avons alors

f\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} }

que l'on peut écrire

f\left(x\right)=\sqrt{g\left(x\right)}

.
Ainsi :

f'\left(x\right)=\frac{g'\left(x\right)}{2\sqrt{g\left(x\right)} }

f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{2}{\left(1-x\right)^{2} } }{2\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }

f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{\red{\cancel{2}}}{\left(1-x\right)^{2} } }{\red{\cancel{2}}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }

f'\left(x\right)=\frac{\dfrac{1}{\left(1-x\right)^{2} } }{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }

f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} } \times \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }

Finalement :

f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x} } }

Question 2