Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme u\sqrt{u} - Exercice 3

8 min
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On considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II.
Calculer la dérivée de la fonction ff .
Question 1

f(x)=1+x1−xf\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} }

Correction
D'après l'énoncé, on sait que ff est dérivable sur II.
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • On pose : g(x)=1+x1−xg\left(x\right)=\frac{1+x}{1-x}
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=1+xu\left(x\right)=1+x et v(x)=1−xv\left(x\right)=1-x.
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−1v'\left(x\right)=-1
    Il vient alors que :
    g′(x)=1×(1−x)−(1+x)×(−1)(1−x)2g'\left(x\right)=\frac{1\times \left(1-x\right)-\left(1+x\right)\times \left(-1\right)}{\left(1-x\right)^{2} }
    g′(x)=1−x−(−1−x)(1−x)2g'\left(x\right)=\frac{1-x-\left(-1-x\right)}{\left(1-x\right)^{2} }
    g′(x)=1−x+1+x(1−x)2g'\left(x\right)=\frac{1-x+1+x}{\left(1-x\right)^{2} }
    g′(x)=2(1−x)2g'\left(x\right)=\frac{2}{\left(1-x\right)^{2} }
    Nous pouvons maintenant calculer la dérivée de ff .
    Nous avons alors f(x)=1+x1−xf\left(x\right)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } que l'on peut écrire f(x)=g(x)f\left(x\right)=\sqrt{g\left(x\right)} .
    Ainsi :
    f′(x)=g′(x)2g(x)f'\left(x\right)=\frac{g'\left(x\right)}{2\sqrt{g\left(x\right)} }
    f′(x)=2(1−x)221+x1−xf'\left(x\right)=\frac{\frac{2}{\left(1-x\right)^{2} } }{2\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }
    f′(x)=2(1−x)221+x1−xf'\left(x\right)=\frac{\frac{\red{\cancel{2}}}{\left(1-x\right)^{2} } }{\red{\cancel{2}}\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }
    f′(x)=1(1−x)21+x1−xf'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} } }{\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }
    f′(x)=1(1−x)2×11+x1−xf'\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} } \times \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }
    Finalement :
    f′(x)=1(1−x)21+x1−xf'\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2} \sqrt{\frac{1+x}{1-x} } }