Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme u\sqrt{u} - Exercice 1

15 min
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Dérivées avec la racine carrée.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=3x+4f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}

Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • Même si cela n'est pas demandé, on rappelle dans cette situation que ff est dérivable si et seulement si 3x+4>03x+4>0
    Or : 3x+4>0⇔3x>−4⇔x>−433x+4>0\Leftrightarrow 3x>-4\Leftrightarrow x>-\frac{4}{3}
    ff est dérivable sur ]−43;+∞[\left]-\frac{4}{3};+\infty\right[
    On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=3x+4u\left(x\right)=3x+4. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=323x+4f'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4} }

    Question 2

    f(x)=5−x+1f\left(x\right)=5\sqrt{-x+1}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • Même si cela n'est pas demandé, on rappelle dans cette situation que ff est dérivable si et seulement si −x+1>0-x+1>0
    Or : −x+1>0⇔−x>−1⇔x<1-x+1>0\Leftrightarrow -x>-1\Leftrightarrow x<1
    ff est dérivable sur ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[
    On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=−x+1u\left(x\right)=-x+1. Ainsi u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×−12−x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{-1}{2\sqrt{-x+1} }
    Finalement :
    f′(x)=−52−x+1f'\left(x\right)=\frac{-5}{2\sqrt{-x+1} }
    Question 3

    f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+3x+1}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=x2+3x+1u\left(x\right)=x^{2}+3x+1. Ainsi u′(x)=2x+3u'\left(x\right)=2x+3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=2x+32x2+3x+1f'\left(x\right)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+1} }
    Question 4

    f(x)=36x2+5x+9f\left(x\right)=3\sqrt{6x^{2}+5x+9}

    Correction
    Question 5

    f(x)=73x2+2x−9f\left(x\right)=7\sqrt{3x^{2}+2x-9}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=3x2+2x−9u\left(x\right)=3x^{2}+2x-9. Ainsi u′(x)=6x+2u'\left(x\right)=6x+2.
    Il en résulte que :
    f′(x)=7×6x+223x2+2x−9f'\left(x\right)=7\times\frac{6x+2}{2\sqrt{3x^{2}+2x-9} }

    Finalement :
    f′(x)=42x+1423x2+2x−9f'\left(x\right)=\frac{42x+14}{2\sqrt{3x^{2}+2x-9} }

    On peut encore aller plus loin en simplifiant le quotient par deux, il vient alors que :
    f′(x)=26x+73x2+2x−9f'\left(x\right)=\frac{26x+7}{\sqrt{3x^{2}+2x-9} }
    Question 6

    f(x)=3x4x−1f\left(x\right)=3x\sqrt{4x-1}

    Correction
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnait la forme (uv)′\left(uv\right)'
    On pose alors u(x)=3xu\left(x\right)=3x et v(x)=4x−1v\left(x\right)=\sqrt{4x-1}
    Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=424x−1v'\left(x\right)=\frac{4}{2\sqrt{4x-1} } que l'on peut écrire après simplification v′(x)=24x−1v'\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x-1} }
    Il vient alors que :
    f′(x)=3×4x−1+3x×24x−1f'\left(x\right)=3\times \sqrt{4x-1} +3x\times \frac{2}{\sqrt{4x-1} }
    Finalement :
    f′(x)=34x−1+6x4x−1f'\left(x\right)=3\sqrt{4x-1} +\frac{6x}{\sqrt{4x-1} }
    Question 7

    f(x)=2xx+1f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x+1} }

    Correction
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnait la forme (uv)′\left(\frac{u}{v} \right)^{'}
    On pose alors : u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=x+1v\left(x\right)=\sqrt{x+1}
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=12x+1v'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }
    Il vient alors que :
    f′(x)=2x+1−2x×12x+1(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x+1} -2x\times \frac{1}{2\sqrt{x+1} } }{\left(\sqrt{x+1} \right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=2x+1−xx+1x+1f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x+1} -\frac{x}{\sqrt{x+1} } }{x+1}