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Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme eue^{u} - Exercice 2

20 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes sur R\mathbb{R}.
Question 1

f(x)=5e2x2+4x−6f\left(x\right)=5 e^{2x^2+4x-6}

Correction
Question 2

f(x)=e3x+1f\left(x\right)=e^{3x+1}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=3x+1u\left(x\right)=3x+1 et donc u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    D'où
    f′(x)=3e3x+1f'\left(x\right)=3e^{3x+1}
    Question 3

    f(x)=5e−3xf\left(x\right)=5e^{-3x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=−3xu\left(x\right)=-3x et donc u′(x)=−3u'\left(x\right)=-3.
    D'où
    f′(x)=−15e−3xf'\left(x\right)=-15e^{-3x}
    Question 4

    f(x)=2e5x+3f\left(x\right)=2e^{5x+3}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=5x+3u\left(x\right)=5x+3 et donc u′(x)=5u'\left(x\right)=5.
    D'où f′(x)=2×5×e5x+3⇔f'\left(x\right)=2\times 5\times e^{5x+3} \Leftrightarrow
    f′(x)=10e5x+3f'\left(x\right)=10e^{5x+3}
    Question 5

    f(x)=11e2x2+6x+1f\left(x\right)=11e^{2x^{2} +6x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=2x2+6x+1u\left(x\right)=2x^{2}+6x+1 et donc u′(x)=4x+6u'\left(x\right)=4x+6.
    f′(x)=11(4x+6)e2x2+6x+1f'\left(x\right)=11\left(4x+6\right)e^{2x^{2} +6x+1}
    Question 6

    f(x)=2xe−xf\left(x\right)=2xe^{-x}

    Correction
    (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2×e−x+2x×(−e−x)f'\left(x\right)=2\times e^{-x} +2x\times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=2e−x−2xe−xf'\left(x\right)={2\color{blue}{e^{-x}}} -2x{\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(2−2x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(2-2x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 7

    f(x)=8xe4x−12f\left(x\right)=8xe^{4x-12}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=8xu\left(x\right)=8x et v(x)=e4x−12v\left(x\right)=e^{4x-12} .
    Ainsi u′(x)=8u'\left(x\right)=8 et v′(x)=4e4x−12v'\left(x\right)=4e^{4x-12} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=8e4x−12+8x×4e4x−12f'\left(x\right)=8e^{4x-12} +8x\times 4e^{4x-12}
    f′(x)=8e4x−12+32xe4x−12f'\left(x\right)=8{\color{blue}{e^{4x-12}}} +32x{\color{blue}{e^{4x-12}}}
    Ainsi :
    f′(x)=e4x−12(8+32x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{4x-12}}} \left(8+32x\right)
    .
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 8

    f(x)=(6x+3)ex+5f\left(x\right)=\left(6x+3\right)e^{x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=6x+3u\left(x\right)=6x+3 et v(x)=ex+5v\left(x\right)=e^{x+5} .
    Ainsi u′(x)=6u'\left(x\right)=6 et v′(x)=ex+5v'\left(x\right)=e^{x+5} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=6ex+5+(6x+3)×ex+5f'\left(x\right)=6e^{x+5} +\left(6x+3\right)\times e^{x+5}
    f′(x)=6ex+5+6x×ex+5+3×ex+5f'\left(x\right)=6e^{x+5} +6x\times e^{x+5} +3\times e^{x+5}
    f′(x)=6ex+5+6xex+5+3ex+5f'\left(x\right)=6e^{x+5} +6xe^{x+5} +3e^{x+5}
    f′(x)=6xex+5+9ex+5f'\left(x\right)=6x{\color{blue}{e^{x+5}}} +9{\color{blue}{e^{x+5}}}
    f′(x)=ex+5(6x+9)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x+5}}} \left(6x+9\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 9

    f(x)=(9x+1)e−3x+4f\left(x\right)=\left(9x+1\right)e^{-3x+4}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=9x+1u\left(x\right)=9x+1 et v(x)=e−3x+4v\left(x\right)=e^{-3x+4}.
    Ainsi u′(x)=9u'\left(x\right)=9 et v′(x)=−3e−3x+4v'\left(x\right)=-3e^{-3x+4} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=9×e−3x+4+(9x+1)×(−3e−3x+4)f'\left(x\right)=9\times e^{-3x+4} +\left(9x+1\right)\times \left(-3e^{-3x+4} \right)
    f′(x)=9e−3x+4+9x×(−3e−3x+4)+1×(−3e−3x+4)f'\left(x\right)=9e^{-3x+4} +9x\times \left(-3e^{-3x+4} \right)+1\times \left(-3e^{-3x+4} \right)
    f′(x)=9e−3x+4−27xe−3x+4−3e−3x+4f'\left(x\right)=9e^{-3x+4} -27xe^{-3x+4} -3e^{-3x+4}
    f′(x)=6e−3x+4−27xe−3x+4f'\left(x\right)=6{\color{blue}{e^{-3x+4}}} -27x{\color{blue}{e^{-3x+4}}}
    f′(x)=e−3x+4(6−27x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-3x+4}}} \left(6-27x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 10

    f(x)=x3e−2xf\left(x\right)=x^{3} e^{-2x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x3u\left(x\right)=x^{3} et v(x)=e−2xv\left(x\right)=e^{-2x} .
    Ainsi u′(x)=3x2u'\left(x\right)=3x^{2} et v′(x)=−2e−2xv'\left(x\right)=-2e^{-2x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3x2e−2x+x3×(−2e−2x)f'\left(x\right)=3x^{2}e^{-2x} +x^{3} \times \left(-2e^{-2x} \right)
    f′(x)=3x2e−2x−2x3e−2xf'\left(x\right)=3x^{2}{\color{blue}{e^{-2x}}} -2x^{3} {\color{blue}{e^{-2x}}}
    f′(x)=e−2x(3x2−2x3)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-2x}}} \left(3x^{2}-2x^{3} \right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.