Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme cos⁡(u)\cos \left(u\right) - Exercice 3

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Dérivées avec la fonction cosinus.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=cos⁡(x2022)f\left(x\right)=\cos \left(x^{2022} \right)

Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=x2022u\left(x\right)=x^{2022} . Ainsi u′(x)=2022x2021u'\left(x\right)=2022x^{2021}.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(2022x2021)sin⁡(x2022)f'\left(x\right)=-\left(2022x^{2021} \right)\sin \left(x^{2022} \right)

    Question 2

    f(x)=cos⁡(32x−x)f\left(x\right)=\cos \left(\frac{3}{2x}-x \right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
  • (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x} \right)^{'} =-\frac{1}{x^{2} }
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=32x−xu\left(x\right)=\frac{3}{2x}-x . Ainsi u′(x)=−32x2−1u'\left(x\right)=-\frac{3}{2x^{2}}-1 .
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(−32x2−1)sin⁡(32x−x)f'\left(x\right)=-\left(-\frac{3}{2x^{2} }-1 \right)\sin \left(\frac{3}{2x}-x \right)
    f′(x)=(32x2+1)sin⁡(32x−x)f'\left(x\right)=\left(\frac{3}{2x^{2} }+1 \right)\sin \left(\frac{3}{2x}-x \right)