Les dérivées composées : La forme cos⁡(u)\cos \left(u\right) - Exercice 3

5 min
20
Dérivées avec la fonction cosinus.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=cos⁡(x2022)f\left(x\right)=\cos \left(x^{2022} \right)

Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=x2022u\left(x\right)=x^{2022} . Ainsi u′(x)=2022x2021u'\left(x\right)=2022x^{2021}.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(2022x2021)sin⁡(x2022)f'\left(x\right)=-\left(2022x^{2021} \right)\sin \left(x^{2022} \right)

    Question 2

    f(x)=cos⁡(32x−x)f\left(x\right)=\cos \left(\frac{3}{2x}-x \right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
  • (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x} \right)^{'} =-\frac{1}{x^{2} }
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=32x−xu\left(x\right)=\frac{3}{2x}-x . Ainsi u′(x)=−32x2−1u'\left(x\right)=-\frac{3}{2x^{2}}-1 .
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(−32x2−1)sin⁡(32x−x)f'\left(x\right)=-\left(-\frac{3}{2x^{2} }-1 \right)\sin \left(\frac{3}{2x}-x \right)
    f′(x)=(32x2+1)sin⁡(32x−x)f'\left(x\right)=\left(\frac{3}{2x^{2} }+1 \right)\sin \left(\frac{3}{2x}-x \right)

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.