Compléments sur la dérivation et la convexité

Les dérivées composées : La forme cos⁡(u)\cos \left(u\right) - Exercice 2

10 min
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Dérivées avec la fonction cosinus.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=cos⁡(3x+2)f\left(x\right)=\cos \left(3x+2\right)

Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 . Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−3sin⁡(3x+2)f'\left(x\right)=-3\sin \left(3x+2\right)
    Question 2

    f(x)=cos⁡(−5x+9)f\left(x\right)=\cos \left(-5x+9\right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=−5x+9u\left(x\right)=-5x+9 . Ainsi u′(x)=−5u'\left(x\right)=-5.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(−5)sin⁡(−5x+9)f'\left(x\right)=-\left(-5\right)\sin \left(-5x+9\right)
    Ainsi :
    f′(x)=5sin⁡(−5x+9)f'\left(x\right)=5\sin \left(-5x+9\right)

    Question 3

    f(x)=cos⁡(7x2−8x+6)f\left(x\right)=\cos \left(7x^{2}-8x+6\right).

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=7x2−8x+6u\left(x\right)=7x^{2}-8x+6 . Ainsi u′(x)=14x−8u'\left(x\right)=14x-8.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−(14x−8)sin⁡(7x2−8x+6)f'\left(x\right)=-\left(14x-8\right)\sin \left(7x^{2}-8x+6\right)

    Question 4

    f(x)=5cos⁡(πx+2π3)f\left(x\right)=5\cos \left(\pi x+\frac{2\pi }{3} \right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)

    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=πx+2π3u\left(x\right)=\pi x+\frac{2\pi }{3} . Ainsi u′(x)=πu'\left(x\right)=\pi.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×(−π)×sin⁡(πx+2π3)f'\left(x\right)=5\times \left(-\pi \right)\times \sin \left(\pi x+\frac{2\pi }{3} \right)
    Finalement :
    f′(x)=−5πsin⁡(πx+2π3)f'\left(x\right)=-5\pi \sin \left(\pi x+\frac{2\pi }{3} \right)
    Question 5

    f(x)=cos⁡7(5x−2)f\left(x\right)=\cos ^{7} \left(5x-2\right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On peut écrire ff sous la forme f(x)=[cos⁡(5x−2)]7f\left(x\right)=\left[\cos \left(5x-2\right)\right]^{7}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=cos⁡(5x−2)u\left(x\right)=\cos \left(5x-2\right) et n=7n=7. Ainsi u′(x)=−5sin⁡(5x−2)u'\left(x\right)=-5\sin \left(5x-2\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=7×(−5sin⁡(5x−2))×[cos⁡(5x−2)]7−1f'\left(x\right)=7\times \left(-5\sin \left(5x-2\right)\right)\times \left[\cos \left(5x-2\right)\right]^{7-1}
    Finalement :
    f′(x)=−35sin⁡(5x−2)cos⁡6(5x−2)f'\left(x\right)=-35\sin \left(5x-2\right)\cos ^{6} \left(5x-2\right)
    Question 6

    f(x)=7cos⁡(π5x+3)f\left(x\right)=7\cos \left(\frac{\pi }{5} x+3 \right)

    Correction
  • (cos⁡(u))′=−u′sin⁡(u)\left(\cos \left(u\right)\right)^{'} =-u'\sin \left(u\right)
    • On reconnaît ici cos⁡(u)\cos \left(u\right) où u(x)=π5x+3u\left(x\right)=\frac{\pi }{5} x+3 . Ainsi u′(x)=π5u'\left(x\right)=\frac{\pi }{5}.
    Il en résulte que :
    f′(x)=7×(−π5)×sin⁡(π5x+3)f'\left(x\right)=7\times \left(-\frac{\pi }{5} \right)\times \sin \left(\frac{\pi }{5} x+3 \right)
    Finalement :
    f′(x)=−7π5sin⁡(π5x+3)f'\left(x\right)=-\frac{7\pi }{5} \sin \left(\frac{\pi }{5} x+3 \right)