Compléments sur la dérivation et la convexité
Les dérivées composées : La forme cos(u)
Exercice 1
1
f(x)=cos(2x+3)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=2x+3 . Ainsi
u′(x)=2.
Il en résulte que :
f′(x)=−2sin(2x+3) 2
f(x)=cos(−7x+6)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=−7x+6 . Ainsi
u′(x)=−7.
Il en résulte que :
f′(x)=−(−7)sin(−7x+6)Ainsi :
f′(x)=7sin(−7x+6) 3
f(x)=cos(5x2−9x+2).
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=5x2−9x+2 . Ainsi
u′(x)=10x−9.
Il en résulte que :
f′(x)=−(10x−9)sin(5x2−9x+2) 4
f(x)=3cos(πx+2π)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=πx+2π . Ainsi
u′(x)=π.
Il en résulte que :
f′(x)=3×(−π)×sin(πx+2π)Finalement :
f′(x)=−3πsin(πx+2π) 5
f(x)=cos4(6x−1)
(cos(u))′=−u′sin(u) (un)′=n×u′×un−1 On peut écrire
f sous la forme
f(x)=[cos(6x−1)]4 On reconnaît ici
un où
u(x)=cos(6x−1) et
n=4. Ainsi
u′(x)=−6sin(6x−1).
Il en résulte que :
f′(x)=4×(−6sin(6x−1))×cos3(6x−1)Finalement :
f′(x)=−24sin(6x−1)cos3(6x−1) 6
f(x)=4cos(3πx+5)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=3πx+5 . Ainsi
u′(x)=3π.
Il en résulte que :
f′(x)=4×(−3π)×sin(3πx+5)Finalement :
f′(x)=−34πsin(3πx+5)