On reconnaît ici cos(u) où u(x)=−7x+6 . Ainsi u′(x)=−7. Il en résulte que : f′(x)=−(−7)sin(−7x+6) Ainsi :
f′(x)=7sin(−7x+6)
3
f(x)=cos(5x2−9x+2).
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=5x2−9x+2 . Ainsi u′(x)=10x−9. Il en résulte que :
f′(x)=−(10x−9)sin(5x2−9x+2)
4
f(x)=3cos(πx+2π)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=πx+2π . Ainsi u′(x)=π. Il en résulte que : f′(x)=3×(−π)×sin(πx+2π) Finalement :
f′(x)=−3πsin(πx+2π)
5
f(x)=cos4(6x−1)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
(un)′=n×u′×un−1
On peut écrire f sous la forme f(x)=[cos(6x−1)]4 On reconnaît ici un où u(x)=cos(6x−1) et n=4. Ainsi u′(x)=−6sin(6x−1). Il en résulte que : f′(x)=4×(−6sin(6x−1))×[cos(6x−1)]4−1 Finalement :
f′(x)=−24sin(6x−1)cos3(6x−1)
6
f(x)=4cos(3πx+5)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=3πx+5 . Ainsi u′(x)=3π. Il en résulte que : f′(x)=4×(−3π)×sin(3πx+5) Finalement :
f′(x)=−34πsin(3πx+5)
Exercice 2
Dérivées avec la fonction cosinus.
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle I. On ne vous demande pas de déterminer I. Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas.
1
f(x)=cos(3x+2)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=3x+2 . Ainsi u′(x)=3. Il en résulte que :
f′(x)=−3sin(3x+2)
2
f(x)=cos(−5x+9)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=−5x+9 . Ainsi u′(x)=−5. Il en résulte que : f′(x)=−(−5)sin(−5x+9) Ainsi :
f′(x)=5sin(−5x+9)
3
f(x)=cos(7x2−8x+6).
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=7x2−8x+6 . Ainsi u′(x)=14x−8. Il en résulte que :
f′(x)=−(14x−8)sin(7x2−8x+6)
4
f(x)=5cos(πx+32π)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=πx+32π . Ainsi u′(x)=π. Il en résulte que : f′(x)=5×(−π)×sin(πx+32π) Finalement :
f′(x)=−5πsin(πx+32π)
5
f(x)=cos7(5x−2)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
(un)′=n×u′×un−1
On peut écrire f sous la forme f(x)=[cos(5x−2)]7 On reconnaît ici un où u(x)=cos(5x−2) et n=7. Ainsi u′(x)=−5sin(5x−2). Il en résulte que : f′(x)=7×(−5sin(5x−2))×[cos(5x−2)]7−1 Finalement :
f′(x)=−35sin(5x−2)cos6(5x−2)
6
f(x)=7cos(5πx+3)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=5πx+3 . Ainsi u′(x)=5π. Il en résulte que : f′(x)=7×(−5π)×sin(5πx+3) Finalement :
f′(x)=−57πsin(5πx+3)
Exercice 3
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle I. On ne vous demande pas de déterminer I. Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas.
1
f(x)=cos(x2022)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=x2022 . Ainsi u′(x)=2022x2021. Il en résulte que :
f′(x)=−(2022x2021)sin(x2022)
2
f(x)=cos(2x3−x)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
(x1)′=−x21
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=2x3−x . Ainsi u′(x)=−2x23−1. Il en résulte que : f′(x)=−(−2x23−1)sin(2x3−x)
f′(x)=(2x23+1)sin(2x3−x)
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