Compléments sur la dérivation et la convexité
Les dérivées composées : La forme cos(u)
Exercice 1
1
f(x)=cos(2x+3)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=2x+3 . Ainsi
u′(x)=2.
Il en résulte que :
f′(x)=−2sin(2x+3) 2
f(x)=cos(−7x+6)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=−7x+6 . Ainsi
u′(x)=−7.
Il en résulte que :
f′(x)=−(−7)sin(−7x+6)Ainsi :
f′(x)=7sin(−7x+6) 3
f(x)=cos(5x2−9x+2).
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=5x2−9x+2 . Ainsi
u′(x)=10x−9.
Il en résulte que :
f′(x)=−(10x−9)sin(5x2−9x+2) 4
f(x)=3cos(πx+2π)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=πx+2π . Ainsi
u′(x)=π.
Il en résulte que :
f′(x)=3×(−π)×sin(πx+2π)Finalement :
f′(x)=−3πsin(πx+2π) 5
f(x)=cos4(6x−1)
(cos(u))′=−u′sin(u) (un)′=n×u′×un−1 On peut écrire
f sous la forme
f(x)=[cos(6x−1)]4 On reconnaît ici
un où
u(x)=cos(6x−1) et
n=4. Ainsi
u′(x)=−6sin(6x−1).
Il en résulte que :
f′(x)=4×(−6sin(6x−1))×[cos(6x−1)]4−1Finalement :
f′(x)=−24sin(6x−1)cos3(6x−1) 6
f(x)=4cos(3πx+5)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=3πx+5 . Ainsi
u′(x)=3π.
Il en résulte que :
f′(x)=4×(−3π)×sin(3πx+5)Finalement :
f′(x)=−34πsin(3πx+5) Exercice 2
1
f(x)=cos(3x+2)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=3x+2 . Ainsi
u′(x)=3.
Il en résulte que :
f′(x)=−3sin(3x+2) 2
f(x)=cos(−5x+9)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=−5x+9 . Ainsi
u′(x)=−5.
Il en résulte que :
f′(x)=−(−5)sin(−5x+9)Ainsi :
f′(x)=5sin(−5x+9) 3
f(x)=cos(7x2−8x+6).
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=7x2−8x+6 . Ainsi
u′(x)=14x−8.
Il en résulte que :
f′(x)=−(14x−8)sin(7x2−8x+6) 4
f(x)=5cos(πx+32π)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=πx+32π . Ainsi
u′(x)=π.
Il en résulte que :
f′(x)=5×(−π)×sin(πx+32π)Finalement :
f′(x)=−5πsin(πx+32π) 5
f(x)=cos7(5x−2)
(cos(u))′=−u′sin(u) (un)′=n×u′×un−1 On peut écrire
f sous la forme
f(x)=[cos(5x−2)]7 On reconnaît ici
un où
u(x)=cos(5x−2) et
n=7. Ainsi
u′(x)=−5sin(5x−2).
Il en résulte que :
f′(x)=7×(−5sin(5x−2))×[cos(5x−2)]7−1Finalement :
f′(x)=−35sin(5x−2)cos6(5x−2) 6
f(x)=7cos(5πx+3)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=5πx+3 . Ainsi
u′(x)=5π.
Il en résulte que :
f′(x)=7×(−5π)×sin(5πx+3)Finalement :
f′(x)=−57πsin(5πx+3) Exercice 3
1
f(x)=cos(x2022)
(cos(u))′=−u′sin(u) On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=x2022 . Ainsi
u′(x)=2022x2021.
Il en résulte que :
f′(x)=−(2022x2021)sin(x2022) 2
f(x)=cos(2x3−x)
(cos(u))′=−u′sin(u) (x1)′=−x21 On reconnaît ici
cos(u) où
u(x)=2x3−x . Ainsi
u′(x)=−2x23−1.
Il en résulte que :
f′(x)=−(−2x23−1)sin(2x3−x)f′(x)=(2x23+1)sin(2x3−x)