Fonctions composées : Savoir calculer $$\left(u\circ v\right)\left(x\right)$$ c'est à dire exprimer en fonction de $$x$$ la composée de deux fonctions - Exercice 1

$$\purple{\text{D'une part :}}$$
$$\left(u\circ v\right)\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)$$
$$u\left(\red{v\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\red{v\left(x\right)}$$ par la fonction $$u$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\red{v\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$u$$.
$$\left(u\circ v\right)\left(x\right)=u\left(\red{v\left(x\right)}\right)$$
$$\left(u\circ v\right)\left(x\right)=3\red{v\left(x\right)}-5$$
$$\left(u\circ v\right)\left(x\right)=3\times \red{\left(x^{2} +9\right)}-5$$
$$\left(u\circ v\right)\left(x\right)=3x^{2} +27-5$$
Ainsi :
$$\purple{\text{D'autre part :}}$$
$$\left(v\circ u\right)\left(x\right)=v\left(u\left(x\right)\right)$$
$$v\left(\blue{u\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\blue{u\left(x\right)}$$ par la fonction $$v$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\blue{u\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$v$$.
$$\left(v\circ u\right)\left(x\right)=v\left(\blue{u\left(x\right)}\right)$$
$$\left(v\circ u\right)\left(x\right)=\left(\blue{u\left(x\right)}\right)^{2}+9$$
$$\left(v\circ u\right)\left(x\right)=\left(\blue{3x-5}\right)^{2} +9$$
$$\left(v\circ u\right)\left(x\right)=9x^{2} -30x+25+9$$
Ainsi :

$$\purple{\text{D'une part :}}$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$$
$$f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\red{g\left(x\right)}$$ par la fonction $$f$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\red{g\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$f$$.
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=5\red{\left(g\left(x\right)\right)^{2}}-2\red{g\left(x\right)}+8$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=5\red{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}-2\red{\sqrt{x}}+8$$
Ainsi :
$$\purple{\text{D'autre part :}}$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$$
$$g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\blue{f\left(x\right)}$$ par la fonction $$g$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\blue{f\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$g$$.
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\sqrt{\blue{f\left(x\right)}}$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\sqrt{5x^{2}-2x+8}$$
Ainsi :

$$\purple{\text{D'une part :}}$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$$
$$f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\red{g\left(x\right)}$$ par la fonction $$f$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\red{g\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$f$$.
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\cos\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\cos\left(\red{2x^{3}+5x^{2}-9x-7}\right)$$
Ainsi :
$$\purple{\text{D'autre part :}}$$
$$g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\blue{f\left(x\right)}$$ par la fonction $$g$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\blue{f\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$g$$.
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\blue{f\left(x\right)}\right)^{3}+4\left(\blue{f\left(x\right)}\right)^{2}-2\blue{f\left(x\right)}+3$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=2\left(\blue{\cos\left(x\right)}\right)^{3}+5\left(\blue{\cos\left(x\right)}\right)^{2}-9\blue{\cos\left(x\right)}-7$$
Ainsi :

$$\purple{\text{D'une part :}}$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$$
$$f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\red{g\left(x\right)}$$ par la fonction $$f$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\red{g\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$f$$.
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=7\red{\left(g\left(x\right)\right)^{2}}-3\red{g\left(x\right)}+2$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=7\times\red{\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}-3\times\red{\frac{1}{x}}+2$$
$$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=7\times \frac{1}{x^{2} } -3\times \frac{1}{x} +2$$
Ainsi :
$$\purple{\text{D'autre part :}}$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$$
$$g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$ se définit comme l'image de $$\blue{f\left(x\right)}$$ par la fonction $$g$$. Calculatoirement, il suffit de remplacer les $$x$$ par $$\blue{f\left(x\right)}$$ dans l'expression de $$g$$.
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\blue{f\left(x\right)}}$$
$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\blue{7x^2-3x+2}}$$
Ainsi :