Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=-3\sqrt{2x+7}$$ . $$f$$ est dérivable sur $$\left]-\frac{7}{2};+\infty \right[$$
$$\text{\red{Premièrement :}}$$ Calculons $$f'\left(x\right)$$
On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=2x+7$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=-3\times \frac{2}{2\sqrt{2x+7} }$$
$$f'\left(x\right)=-3\times \frac{1\times 2}{2\sqrt{2x+7} }$$
$$f'\left(x\right)=-3\times \frac{1\times \cancel{ \color{blue}2}}{\cancel{ \color{blue}2}\sqrt{2x+7} }$$
$$f'\left(x\right)=-3\times \frac{1}{\sqrt{2x+7} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-3}{\sqrt{2x+7} }$$
$$\text{\red{Deuxièmement :}}$$ Calculons $$f''\left(x\right)$$
On peut écrire $$f'$$ sous la forme :
$$f'\left(x\right)=-3\times \frac{1}{\sqrt{2x+7} }$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=\sqrt{2x+7}$$ . Ainsi : $$v'\left(x\right)=\frac{2}{2\sqrt{2x+7} }=\frac{1}{\sqrt{2x+7} }$$
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=-3\times \frac{-\frac{1}{\sqrt{2x+7} } }{\left(\sqrt{2x+7} \right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=-3\times \frac{-\frac{1}{\sqrt{2x+7} } }{2x+7 }$$
$$f''\left(x\right)=-3\times \frac{-\frac{1}{\sqrt{2x+7} } }{\frac{2x+7}{1} }$$
$$f''\left(x\right)=-3\times \left(-\frac{1}{\sqrt{2x+7} } \right)\times \frac{1}{2x+7}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x \in\left]-\frac{7}{2};+\infty \right[$$ , on vérifie aisément que : $$f''\left(x\right)>0$$
En effet, $$3>0$$ ; $$2x+7>0$$ et $$\sqrt{2x+7}>0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\frac{7}{2};+\infty \right[$$ alors $$f''\left(x\right)>0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=-3\sqrt{2\times 1+7}$$
$$f\left(1\right)=-3\sqrt{9}$$
$$f\left(1\right)=-3\times3$$
$$f\left(1\right)=-9$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=-3\times \frac{1}{\sqrt{2\times1+7} }$$
$$f'\left(1\right)=-3\times \frac{1}{\sqrt{9} }$$
$$f'\left(1\right)=-3\times \frac{1}{3 }$$
$$f'\left(1\right)=-1$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=-1\times \left(x-1\right)-9$$
$$y=-1\times x+\left(-1\right)\times \left(-1\right)-9$$
$$y=-x+1-9$$
$$y=-x-8$$
Ainsi l'équation de la tangente $$\mathscr{D}$$ à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors .

D'après la question $$1$$, nous avons montré que sur l'intervalle $$\left]-\frac{7}{2};+\infty \right[$$ la fonction $$f$$ est convexe. Sa courbe est alors située au-dessus de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est au-dessus de la tangente au point d'abscisse $$1$$.
Ainsi pour tout réel $$x\in \left]-\frac{7}{2};+\infty \right[$$, on a :
$$f\left(x\right)\ge -x-8$$
Finalement :