Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 2

Soit $$f\left(x\right)=2xe^{-x} +x+1$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=2x$$ ; $$v\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$w\left(x\right)=x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=1$$
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2\times e^{-x} +2x\times \left(-e^{-x} \right)+1$$
$$f'\left(x\right)=2e^{-x} -2xe^{-x} +1$$
$$f'\left(x\right)=\left(2-2x\right)e^{-x} +1$$
Nous allons maintenant calculer $$f''$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=2-2x$$ ; $$v\left(x\right)=e^{-x}$$ et $$w\left(x\right)=1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=0$$
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=-2e^{-x} +\left(2-2x\right)\left(-e^{-x} \right)$$
$$f''\left(x\right)=-2e^{-x} +2\times \left(-e^{-x} \right)+\left(-2x\right)\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f''\left(x\right)=-2e^{-x} -2e^{-x} +2xe^{-x}$$
$$f''\left(x\right)=-4e^{-x} +2xe^{-x}$$
Finalement :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-x} >0$$.
$$-4+2x\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 4\Leftrightarrow x\ge \frac{4}{2} \Leftrightarrow x\ge 2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-4+2x$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;2\right]$$ alors $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[2;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :

Ici $$a=0$$, ce qui donne, $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(0\right)$$
$$f\left(0\right)=2\times0\times e^{-0} +0+1$$
$$f\left(0\right)=0+0+1$$
$$f\left(0\right)=1$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(0\right)$$
$$f'\left(0\right)=\left(2-2\times0\right)e^{-0} +1$$
$$f'\left(0\right)=2\times 1 +1$$
$$f'\left(0\right)=3$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(0\right)$$ et de $$f'\left(0\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
$$y=3\times \left(x-0\right)+1$$
$$y=3x+1$$
Ainsi l'équation de la tangente $$\mathscr{D}$$ à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point d'abscisse $$0$$ est alors $$y=3x+1$$.

D'après la question $$1$$, nous avons montré que sur l'intervalle $$\left]-\infty;2 \right]$$ la fonction $$f$$ est concave. Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse $$0$$.
Ainsi pour tout réel $$x\in \left]-\infty;2 \right]$$, on a :
$$f\left(x\right)\le 3x+1$$
$$2xe^{-x} +x+1\le 3x+1$$
$$2xe^{-x} +x+1- 3x-1\le0$$
Ce qui nous donne : $$2xe^{-x} -2x\le 0$$