Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 1

Nous allons commencer par calculer $$f'$$ puis $$f''$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .Ainsi :
$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)$$

$$f'$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .$$f'\left(x\right)=2\times \frac{-2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-4x}{x^{4} }$$ . On simplifie par $$x$$ .
Ainsi :
Nous savons que $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ ce qui signifie que $$x> 0$$
Il en résulte donc que $$x^{3}>0$$ et de plus nous savons que $$-4<0$$ .
On peut alors conclure que $$-\frac{4}{x^{3}}<0$$
On peut alors affirmer que $$f''\left(x\right)<0$$
Il en résulte donc que $$f$$ est concave sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.
$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(2\right)$$
$$f\left(2\right)=-\frac{1}{2}\times 2-\frac{2}{2}$$
$$f\left(2\right)=-2$$
$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(2\right)$$
$$f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}$$
$$f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$
$$f'\left(2\right)=0$$
$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=0\times \left(x-2\right)-2$$
$$y=-2$$
Ainsi l'équation de la tangente $$\mathscr{D}$$ à la courbe $$\mathscr{C_f}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors $$y=-2$$.

D'après la question $$1$$, nous avons montré que sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ la fonction $$f$$ est concave. Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse $$2$$.
Ainsi pour tout réel $$x\in \left]0;+\infty \right[$$, on a :
$$f\left(x\right)\le -2$$
Finalement :