Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités

Nous allons commencer par calculer $f'$ puis $f''$.
$f$ est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ .Ainsi :
$f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)$

$f'$ est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ .$f'\left(x\right)=2\times \frac{-2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-4x}{x^{4} }$ . On simplifie par $x$ .
Ainsi :
Nous savons que $x\in \left]0;+\infty \right[$ ce qui signifie que $x> 0$
Il en résulte donc que $x^{3}>0$ et de plus nous savons que $-4<0$ .
On peut alors conclure que $-\frac{4}{x^{3}}<0$
On peut alors affirmer que $f''\left(x\right)<0$
Il en résulte donc que $f$ est concave sur $\left]0;+\infty \right[$ .

Ici $a=2$, ce qui donne, $y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$.
$\red{1}$^{$\red{\text{ère}}$}$\text{\red{ étape :}}$ calculer $f\left(2\right)$
$f\left(2\right)=-\frac{1}{2}\times 2-\frac{2}{2}$
$f\left(2\right)=-2$
$\red{2}$^{$\red{\text{ème}}$}$\text{\red{ étape :}}$ calculer $f'\left(2\right)$
$f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}$
$f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$f'\left(2\right)=0$
$\red{3}$^{$\red{\text{ème}}$}$\text{\red{ étape :}}$ on remplace les valeurs de $f\left(2\right)$ et de $f'\left(2\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$
$y=0\times \left(x-2\right)-2$
$y=-2$
Ainsi l'équation de la tangente $\mathscr{D}$ à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $2$ est alors $y=-2$.

D'après la question $1$, nous avons montré que sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction $f$ est concave. Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse $2$.
Ainsi pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$, on a :
$-\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}\le -2$