Exercices types : $$3$$^ème partie. Applications à l'économie - Exercice 2

$$x\mapsto 15x^{3}-120x^{2}+500x+750$$ est une fonction polynôme. Par définition , les fonctions polynômes sont continues sur $$\mathbb{R}$$ et donc en particulier continue sur $$\left[0;10\right]$$.

Nous savons que le prix de vente d'un mètre cube de ce produit chimique est égale à $$680$$ €. Il en résulte donc que pour $$x$$ mètres cube le prix de vente sera de $$680x$$.
Finalement : .

Ainsi :
$$B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$B\left(x\right)=680x -\left(15x^{3}-120x^{2}+500x+750\right)$$
$$B\left(x\right)=680x -15x^{3}+120x^{2}-500x-750$$

$$B$$ est dérivable sur $$\left[0;10\right]$$.
$$B'\left(x\right)=-45x^{2}+240x^{2}+180$$
$$B'\left(x\right)=-3\times15x^{2}+16\times15x^{2}+12\times15$$. Nous allons maintenant factoriser par $$15$$.
Ainsi :

Soit $$B'\left(x\right)=15\left(-3x^{2}+16x+12\right)$$. Nous savons que $$15>0$$ donc le signe de $$B'$$ dépend de $$-3x^{2}+16x+12$$.
$$x\mapsto -3x^{2}+16x+12$$ est une fonction trinôme du second degré. Nous allons utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$$\Delta =400$$ , $$x_{1} =6$$ et $$x_{2} =-\frac{2}{3}$$
Comme $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$B'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

D'après la question $$5$$, nous savons que : L'entreprise devra produire et vendre $$6$$ mètres cube pour obtenir un bénéfice maximal. La valeur de ce bénéfice est obtenue en calculant $$B\left(6\right)$$. D'où :
$$B\left(6\right)=-15\times6^{3}+120\times6^{2}+180\times6-750$$

Pour $$6$$ mètres cube produit et vendu, le bénéfice maximal sera de $$1410$$ milliers d'euros.