Compléments sur la dérivation et la convexité

Exercices types : 33ème partie. Applications à l'économie

Exercice 1

Une entreprise fabrique du parfum haut de Gamme. La production quotidienne varie entre 00 et 1010 litres. Le coût total de production de xx litres, exprimé en milliers d’euros, est modélisée par la fonction CC définie sur [0;10]\left[0;10\right] par C(x)=0,5x34x2+12x+60C\left(x\right)=0,5x^{3}-4x^{2}+12x+60
1

Montrer que la fonction CC est croissante sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].

Correction
2

Etudier la convexité de la fonction CC sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].

Correction
3

Montrer que la courbe représentative de la fonction CC admet un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

Correction
4

Sur quel intervalle la croissance de CC est-elle ralentie? Accélérée?

Correction

Exercice 2

Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire xx mètres cube chaque jour ; on suppose que xx appartient à l'intervalle [0;10]\left[0;10\right]. Le coût total de production CC, exprimé en milliers d'euros, est fonction de la quantité produite xx : C(x)=15x3120x2+500x+750C\left(x\right)=15x^{3}-120x^{2}+500x+750.
Le prix de vente d'un mètre cube de ce produit chimique est égale à 680680 €.
On note B(x)B\left(x\right), le bénéfice en euros réalisé par l'entreprise pour xx mètres cubes de produit chimique produits et vendus.
1

Justifier que la fonction CC est continue sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].

Correction
2

Déterminer la recette , notée R(x)R\left(x\right), correspondant à la vente de xx mètres cubes.

Correction
3

Montrer que le bénéfice, notée B(x)B\left(x\right), est égale à : B(x)=15x3+120x2+180x750B\left(x\right)=-15x^{3}+120x^{2}+180x-750.

Correction
4

Calculer B(x)B'\left(x\right) puis vérifier que B(x)B'\left(x\right) peut également s'écrire : B(x)=15(3x2+16x+12)B'\left(x\right)=15\left(-3x^{2}+16x+12\right).

Correction
5

Dresser le tableau de variation complet de la fonction BB sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].

Correction
6

En déduire pour quelle quantité produite et vendue par jour le bénéfice réalisé par l'entreprise est maximal. Préciser la valeur de ce bénéfice maximal, en euros.

Correction
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