Exercices types : $2$^ème partie

$\red{\text{La proposition est vraie.}}$
Il nous faut tout d'abord calculer $f'$ puis $f''$. Il vient alors que :
Premièrement : $f'\left(x\right)=4x^{3}-12x$
Enfin :
Résolvons :
$f''\left(x\right)=0$ équivaut successivement à :
$12x^{2}-12=0$. Il s'agit d'une équation du second degré. Nous allons utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
$\Delta =576$ , $x_{1} =-1$ et $x_{2} =1$
Comme $a=12>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $f''$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
Cela nous donne ci-dessous :La dérivée seconde s'annule et change de signe en $-1$ et en $1$. Donc $f$ admet un point d'inflexion en $-1$ et en $1$.
Pour déterminer les coordonnées du point d'inflexion d'abscisse $1$, il nous faut calculer $f\left(1\right)$.
Ainsi : $f\left(1\right)=1^{4}-6\times1^{2}+5=0$.
La courbe $\mathscr{C_f}$ admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(1;0\right)$.

$\red{\text{La proposition est vraie.}}$
Nous savons que : $f''\left(x\right)=12x^{2}-12$ et d'après la question précédente, nous avons donné le signe de $f''$.
Il vient alors que :

$\red{\text{La proposition est fausse.}}$
Ici $a=-1$, ce qui donne, $y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$. Ainsi : $y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$
1^ère étape : calculer $f\left(-1\right)$
$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{4}-6\times\left(-1\right)^{2}+5$
$f\left(-1\right)=0$
2^ème étape : calculer $f'\left(-1\right)$
$f'\left(-1\right)=4\times\left(-1\right)^{3}-12\times\left(-1\right)$
$f'\left(-1\right)=8$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $f\left(-1\right)$ et de $f'\left(-1\right)$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$
$y=8\times \left(x+1\right)$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $-1$ est alors $y=8x+8$.