Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′.
- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour tout réel
x appartenant à l'intervalle
[0;11], on a :
f′(x)=−3x2+33x−30.
Il vient alors que :
f′′(x)=−6x+33.
f′′ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation
−6x+33≥0, il vient alors :
−6x+33≥0 équivaut successivement à :
−6x≥−33x≤−6−33 (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
x≤633Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
−6x+33 lorsque
x sera inférieur ou égale à
633.
Il en résulte :
De plus, au point d'abscisse
x=633, la dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point. Il en résulte qu'au point d'abscisse
x=633, la courbe admet un point d'inflexion.