(eu)′=u′eu f est dérivable sur
R.
Ici
u(x)=−2x+3 et donc
u′(x)=−2.
Ainsi :
f′(x)=−4×(−2)×e−2x+3 f′(x)=8e−2x+3 Nous allons calculer maintenant
f′′.
f′ est dérivable sur
R.
Ici
u(x)=−2x+3 et donc
u′(x)=−2.
Ainsi :
f′′(x)=8×(−2)×e−2x+3 f′′(x)=−16e−2x+3 Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′.
- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour tout réel
x appartenant à l'intervalle
]−∞;+∞[, on vérifie aisément que
e−2x+3>0 et que
−16<0 .
Il en résulte donc que
f′′(x)<0 .