Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′.
- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour tout réel
x appartenant à l'intervalle
]−∞;+∞[, on a :
f′(x)=−15(6−5x)2 .
(un)′=n×u′×un−1 On reconnaît ici
un où
u(x)=6−5x et
n=2. Ainsi
u′(x)=−5.
Il en résulte que :
f′′(x)=−15×2×(−5)×(6−5x)2−1Ainsi :
f′′(x)=150(6−5x) Comme
150>0, le signe de
f′′ dépend alors de
6−5x .
Pour étudier son signe on résout l'inéquation
6−5x≥0, il vient alors :
6−5x≥0 équivaut successivement à :
−5x≥−6x≤−5−6 (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
x≤56 Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
6−5x lorsque
x sera inférieur ou égale à
56.
Il en résulte :