Compléments sur la dérivation et la convexité

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

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Soit ff une fonction définie et continue sur [7;7]\left[-7;7\right] par f(x)=x3+6x2+1f\left(x\right)=-x^{3} +6x^{2}+1
Question 1

Calculer la dérivée de ff.

Correction
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [7;7]\left[-7;7\right], on a : f(x)=3x2+12xf'\left(x\right)=-3x^{2} +12x.
Question 2

Etudier le sens de variation de ff et dresser son tableau de variation.

Correction
f(x)=3x2+12xf'\left(x\right)=-3x^{2} +12x
Ici la dérivée est une fonction du 22ème degré.
Pour l'étude du signe de 3x2+12x-3x^{2} +12x, on va utiliser le discriminant.
Alors a=3a=-3; b=12b=12 et c=0c=0.
Or Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac donc Δ=144\Delta =144.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.
  • x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x1=4x_{1} =4.
  • x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ce qui donne x2=0x_{2} =0.
Comme a=3<0a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 3

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
1ère étape : calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=13+6×12+1f\left(1\right)=-1^{3} +6\times 1^{2}+1
f(1)=6f\left(1\right)=6
2ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
f(1)=3×12+12×1f'\left(1\right)=-3\times 1^{2} +12\times 1
f(1)=9f'\left(1\right)=9
3ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
y=9×(x1)+6y=9\times \left(x-1\right)+6
y=9x9+6y=9x-9+6
y=9x3y=9x-3
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=9x3y=9x-3.
Question 4

Etudier la convexité de ff.

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de ff''.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [7;7]\left[-7;7\right], on a : f(x)=3x2+12xf'\left(x\right)=-3x^{2} +12x.
Il vient alors que : f(x)=6x+12f''\left(x\right)=-6x +12.
ff'' est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation 6x+120-6x+12\ge 0, il vient alors :
6x+120-6x+12\ge 0 équivaut successivement à :
6x12-6x\ge -12
x126x\le \frac{-12}{-6} (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
x2x\le 2
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 6x+12-6x+12 lorsque xx sera inférieur ou égale à 22.
Il en résulte :