Compléments sur la dérivation et la convexité

Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du signe de la dérivée seconde de ff - Exercice 6

10 min
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On considère la fonction ff dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ définie par f(x)=3(2x+1)4f\left(x\right)=3{\left(2x+1\right)}^4 .
Question 1

Etudiez la convexité de la fonction ff .

Correction
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Soit f(x)=3(2x+1)4f\left(x\right)=3{\left(2x+1\right)}^4.
ff est dérivable sur R\mathbb{R} .
  • (un)=n×u×un1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
  • Premièrement : Calculons f(x)f'\left(x\right)
    On reconnaît ici unu^{n} u(x)=2x+1u\left(x\right)=2x+1 et n=4n=4. Ainsi u(x)=2u'\left(x\right)=2.
    Il en résulte que :
    f(x)=3×4×2×(2x+1)3f'\left(x\right)=3\times 4\times 2\times {\left(2x+1\right)}^3
    f(x)=24(2x+1)3f'\left(x\right)=24{\left(2x+1\right)}^3
    Deuxièmement : Calculons f(x)f''\left(x\right)
    On reconnaît ici unu^{n} u(x)=2x+1u\left(x\right)=2x+1 et n=3n=3. Ainsi u(x)=2u'\left(x\right)=2.
    Il en résulte que :
    f(x)=24×3×2×(2x+1)2f''\left(x\right)=24{\times 3\times 2\times \left(2x+1\right)}^2
    f(x)=144(2x+1)2f''\left(x\right)=144{\left(2x+1\right)}^2
    Pour tout réel x];+[x \in\left]-\infty;+\infty\right[ , on vérifie aisément que : f(x)0f''\left(x\right)\ge0
    En effet, 144>0144>0 et (2x+1)20{\left(2x+1\right)}^2\ge0
    Il en résulte donc que :
    • si x];+[x\in\left]-\infty;+\infty\right[ alors f(x)0f''\left(x\right)\ge0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.
    Ainsi :