Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 5

Soit $$f\left(x\right)=-4\sqrt{6x+18}$$ . $$f$$ est dérivable sur $$\left]-3;+\infty\right[$$
$$\text{\red{Premièrement :}}$$ Calculons $$f'\left(x\right)$$
On reconnaît ici $$\sqrt{u}$$ où $$u\left(x\right)=6x+18$$. Ainsi $$u'\left(x\right)=6$$.
Il en résulte que :
$$f'\left(x\right)=-4\times \frac{6}{2\sqrt{6x+18} }$$
$$f'\left(x\right)=-4\times \frac{3\times 2}{2\sqrt{6x+18} }$$
$$f'\left(x\right)=-4\times \frac{3\times \cancel{ \color{blue}2}}{\cancel{ \color{blue}2}\sqrt{6x+18} }$$
$$f'\left(x\right)=-4\times \frac{3}{\sqrt{6x+18} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-12}{\sqrt{6x+18} }$$
$$\text{\red{Deuxièmement :}}$$ Calculons $$f''\left(x\right)$$
On peut écrire $$f'$$ sous la forme :
$$f'\left(x\right)=-12\times \frac{1}{\sqrt{6x+18} }$$
On reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=\sqrt{6x+18}$$ . Ainsi : $$v'\left(x\right)=\frac{6}{2\sqrt{6x+18} }$$
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=-12\times \frac{-\frac{6}{2\sqrt{6x+18} } }{\left(\sqrt{6x+18} \right)^{2} }$$
$$f''\left(x\right)=-12\times \frac{-\frac{3\times 2}{2\sqrt{6x+18} } }{6x+18}$$
$$f''\left(x\right)=-12\times \frac{-\frac{3\times \cancel{ \color{blue}2}}{\cancel{ \color{blue}2}\sqrt{6x+18} } }{6x+18}$$
$$f''\left(x\right)=-12\times \frac{-\frac{3}{\sqrt{6x+18} } }{6x+18}$$
$$f''\left(x\right)=-12\times \frac{-\frac{3}{\sqrt{6x+18} } }{\frac{6x+18}{1} }$$
$$f''\left(x\right)=-12\times \left(-\frac{3}{\sqrt{6x+18} } \right)\times \frac{1}{6x+18}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x \in\left]-3;+\infty\right[$$ , on vérifie aisément que : $$f''\left(x\right)>0$$
En effet, $$36>0$$ ; $$6x+18>0$$ et $$\sqrt{6x+18}>0$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-3;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)>0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :