Soit
f(x)=(3−x)ex f est dérivable sur
RDeˊriveˊe du produit
On considère deux fonctions
u et
v, dérivables sur un intervalle
I alors
(uv)′=u′v+uv′ Premieˋrement : Calculons
f′(x)Ici on reconnaît la forme
(uv+w)′=u′v+uv′ avec
u(x)=3−x et
v(x)=ex Ainsi :
u′(x)=−1 et
v′(x)=ex.
Il vient alors que :
f′(x)=−1×ex+(3−x)ex f′(x)=(−1+3−x)ex f′(x)=(2−x)ex Deuxieˋmement : Calculons
f′′(x)Ici on reconnaît la forme
(uv+w)′=u′v+uv′ avec
u(x)=2−x et
v(x)=ex Ainsi :
u′(x)=−1 et
v′(x)=ex.
Il vient alors que :
f′′(x)=−1×ex+(2−x)ex f′′(x)=(−1+2−x)ex Ainsi :
f′′(x)=(1−x)ex Pour tout réel
x, on a
ex>0.
Le signe de
f′′ dépend alors de
1−x, ce qui donne :
1−x≥0−x≥−1 −1x≥−1x≤−1−1 x≤1Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;1] alors f′′(x)≥0 et donc f est convexe sur cet intervalle.
- si x∈[1;+∞[ alors f′′(x)≤0 et donc f est concave sur cet intervalle.
Ainsi :