Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 3

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de $$f$$.
$$f$$ est deux fois dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Soit $$f\left(x\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$ que le peut écrire également sous la forme : $$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}$$
Il vient que :
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$
$$f''\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}-\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x}$$
$$f''\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}$$
Pour tout réel $$x$$, on sait par définition que $$e^{x}>0$$ et que $$e^{-x}>0$$ .
Il en résulte donc que $$f''\left(x\right)>0$$.
Ainsi :

On a vu à la question $$2$$ que la fonction dérivée seconde de $$f$$ est strictement positive.
Pour tout réel $$x$$, on a donc : $$f''\left(x\right)>0$$. Cela signifie donc que $$f''$$ ne s'annule pas .
Il en résulte que la fonction $$f$$ n'admet pas de point d'inflexion.