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Etudier la convexité d'une fonction $f$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $f$ - Exercice 3

10 min

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

définie par

f\left(x\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

.
Cette fonction est appelée cosinus hyperbolique. Cela fait du bien un peu de culture :)

Question 1

Etudiez la convexité de la fonction $f$ .

Correction

\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}

Pour étudier la convexité de la fonction

f

, il faut étudier le signe de

f''

. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de

f

f

est deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

.
Soit

f\left(x\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

que le peut écrire également sous la forme :

f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}

Il vient que :

\red{\text{Calculons d'une part :}}

f'\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}

\red{\text{Calculons d'autre part :}}

f''\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}-\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x}

f''\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}

Lorsque $f''\left(x\right)\ge 0$ sur un intervalle $\left[a,b\right]$ alors $f$ est convexe.
Lorsque $f''\left(x\right)\le 0$ sur un intervalle $\left[a,b\right]$ alors $f$ est concave.

Pour tout réel

x

, on sait par définition que

e^{x}>0

et que

e^{-x}>0

.
Il en résulte donc que

f''\left(x\right)>0

.
Ainsi :

Question 2

Correction

$f$ possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.

On a vu à la question

2

que la fonction dérivée seconde de

f

est strictement positive.
Pour tout réel

x

, on a donc :

f''\left(x\right)>0

. Cela signifie donc que

f''

ne s'annule pas .
Il en résulte que la fonction

f

n'admet pas de point d'inflexion.

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