Compléments sur la dérivation et la convexité

Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du signe de la dérivée seconde de ff - Exercice 2

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On considère la fonction ff définie sur [2;10]\left[-2;10\right] définie par f(x)=112x4x3+52x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{12} x^{4} -x^{3} +\frac{5}{2} x^{2} +1 .
Question 1

Etudiez la convexité de la fonction ff

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de ff''. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de ff.
ff est deux fois dérivable sur [2;10]\left[-2;10\right] .
Il vient que :
Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}}
f(x)=112×4x33x2+52×2xf'\left(x\right)=\frac{1}{12} \times 4x^{3} -3x^{2} +\frac{5}{2} \times 2x
f(x)=13x33x2+5xf'\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -3x^{2} +5x

Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}}
f(x)=13×3x26x+5f''\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -6x+5
f(x)=x26x+5f''\left(x\right)=x^{2} -6x+5
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Pour l'étude du signe du trinôme x26x+5x^{2} -6x+5, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
Δ=16\Delta =16 , x1=1x_{1} =1 et x2=5x_{2} =5
Comme a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors :
Question 2

La courbe représentative de ff possède-t-elle un point d'inflexion ? Plusieurs ?
Si oui, déterminer leurs coordonnées.

Correction
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Résolvons :
f(x)=0f''\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
x26x+5=0x^{2} -6x+5=0
A la question 22, on a calculer le discriminant et on a donc les solutions de cette équation.
Ainsi : x1=1x_{1} =1 et x2=5x_{2} =5.
ff admet deux points d'inflexion respectivement au point d'abscisse 11 et au point d'abscisse 55.
En effet, la dérivée seconde change bien de signe en ces deux points.
Pour déterminer leurs coordonnées, calculons f(1)f\left(1\right) et f(5)f\left(5\right).
D'une part :
f(1)=112×1413+52×12+1f\left(1\right)=\frac{1}{12} \times 1^{4} -1^{3} +\frac{5}{2} \times 1^{2} +1
f(1)=3112f\left(1\right)=\frac{31}{12}
D'autre part :
f(5)=112×5453+52×52+1f\left(5\right)=\frac{1}{12} \times 5^{4} -5^{3} +\frac{5}{2} \times 5^{2} +1
f(5)=11312f\left(5\right)=\frac{-113}{12}
Le 11er point d'inflexion a comme coordonnées : (1;3112)\left(1;\frac{31}{12} \right) et le 22ème point d'inflexion a comme coordonnées : (5;11312)\left(5;\frac{-113}{12} \right).