Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de
f.
f est deux fois dérivable sur
[−2;10] .
Il vient que :
Calculons d’une part : f′(x)=121×4x3−3x2+25×2xf′(x)=31x3−3x2+5x Calculons d’autre part : f′′(x)=31×3x2−6x+5f′′(x)=x2−6x+5 - Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour l'étude du signe du trinôme
x2−6x+5, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous.
Δ=16 ,
x1=1 et
x2=5Comme
a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que
f est du signe de
a à l'extérieur des racines et du signe opposé à
a entre les racines.
Il vient alors :