Compléments sur la dérivation et la convexité

Etudier graphiquement la convexité d'une fonction - Exercice 6

2 min
5
On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction ff deux fois dérivable sur l'intervalle [−2;9]\left[-2;9\right] .
Question 1

Quel est le nombre des points d'inflexion de la courbe représentative de ff sur l'intervalle [−2;9]\left[-2;9\right] .

Correction
    Les deux définitions ci-dessous sont équivalentes :
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes .\red{\text{en-dessous de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont au-dessus\red{\text{au-dessus}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes .\red{\text{au-dessus de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont en dessous\red{\text{en dessous}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
  • Graphiquement, un point d’inflexion\purple{\text{un point d'inflexion}} est un point où la courbe représentative traverse sa tangente, ce qui semble être le cas pour le point d'abscisse 11 et pour le point d’abscisse 55.
    • La courbe Cf\mathscr{C_f} admet donc deux points d'inflexions .