Compléments sur la dérivation et la convexité

Etudier graphiquement la convexité d'une fonction - Exercice 3

5 min
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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction ff deux fois dérivable sur l'intervalle [−1;4]\left[-1;4\right] .
Question 1

Conjecturer la convexité de ff .

Correction
    Les deux définitions ci-dessous sont équivalentes :
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes .\red{\text{en-dessous de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont au-dessus\red{\text{au-dessus}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes .\red{\text{au-dessus de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont en dessous\red{\text{en dessous}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
    • Nous avons tracé ci-dessous 22 tangentes à la courbe Cf\mathscr{C_f}.
    Dans un premier temps :\blue{\text{Dans un premier temps :}}
    La tangente (d1)\left(d_1\right) est située en dessous de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f}. Les tangentes, sur l'intervalle [−1;2]\left[-1;2\right], semblent donc être toutes en dessous\red{\text{en dessous}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
    On peut donc conjecturer que la fonction ff semble convexe sur l'intervalle [−1;2]\left[-1;2\right] .
    Dans un deuxieˋme temps :\blue{\text{Dans un deuxième temps :}}
    La tangente (d2)\left(d_2\right) est située au-dessus de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f}. Les tangentes, sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right], semblent donc être toutes au-dessus\red{\text{au-dessus}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
    On peut donc conjecturer que la fonction ff semble concave sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right]
    Conclusion :\blue{\text{Conclusion :}} Nous pouvons conjecturer que :
  • La fonction ff semble convexe\purple{\text{convexe}} sur l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right]
  • La fonction ff semble concave\purple{\text{concave}} sur l'intervalle [1;4]\left[1;4\right]
  • Graphiquement, un point d’inflexion\purple{\text{un point d'inflexion}} est un point où la courbe représentative traverse sa tangente, ce qui semble être le cas pour le point d'abscisse 11 .