f(x)=x équivaut successivement à :
x3ex=x x3ex−x=0 x×x2ex−x=0 x(x2ex−1)=0 Il s'agit d'une équation produit nul.
D'une part : x=0D'autre part : x2ex−1=0 . D'après le rappel, l’équation
x2ex−1=0 possède une seule solution dans
R et que celle-ci est strictement supérieure à
21 .
D'après la question
6, nous savons que la suite
(un) est convergente et admet donc une limite que l'on note
ℓ et comme
−1≤un≤un+1≤0 alors
ℓ∈[−1;0] .
Or une solution strictement supérieure à
21 fait que cette solution ne peut pas appartenir à l'intervalle
[−1;0] .
ℓ=0 est alors la limite de la suite
(un).