Compléments sur la dérivation et la convexité

De la lecture graphique à nouveau - Exercice 2

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Ci-dessous, vous trouverez le tableau de variation de la fonction dérivée f′f' d'une fonction dérivée ff dérivable sur [−8;10]\left[-8 ; 10\right] .
Question 1

Déterminer le sens de variation de ff.

Correction
  • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
  • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] donc que ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
On va établir le tableau de signe de f′f' et on aura ainsi les variations de ff.
On remarque grâce au tableau de variation de f′f' que :
  • f′f' est positive sur [−8;10]\left[-8 ; 10\right] car le minimum de ff vaut 00 lorsque x=−1x=-1 . Il en résulte donc que ff est croissante sur [−8;10]\left[-8 ; 10\right].
Ce qui donne :
Question 2

Déterminer la convexité de ff.

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, nous allons utiliser les variations de f′f'.
  • Si f′f' est croissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est décroissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right]
D'après le tableau de variation de f′f', on en déduit :

  • f′f' est décroissante [−8;−1]\left[-8;-1\right] alors ff est concave sur [−8;−1]\left[-8;-1\right]
  • f′f' est croissante [−1;3]\left[-1;3\right] alors ff est convexe sur [−1;3]\left[-1;3\right]
  • f′f' est décroissante [3;10]\left[3;10\right] alors ff est concave sur [3;10]\left[3;10\right]
    • Ainsi :