Compléments sur la dérivation et la convexité
De la lecture graphique à nouveau
Exercice 1
1
Le nombre de solutions dans
[−7;7] de l’équation
f′(x)=0 est :
La bonne réponse est c .
Pour résoudre graphiquement l'équation
f′(x)=0, il faut rechercher les tangentes horizontales à la courbe
Cf .
Il semble qu’il existe deux tangentes horizontales à la courbe
Cf sur
[−7;7] approximativement pour les points d'abscisses
−1 et
1.
2
Une valeur approchée de la solution de l’équation
f(x)=−0,3 sur l’intervalle
[−1;6] est :
- −3
- −0,3
- 0,3
- 3
La bonne réponse est b .
Voir les tracés en tirets en bleus sur le graphique.
3
Le nombre de points d’inflexion dans
[−7;7] de
Cf est :
La bonne réponse est d .
Il semble que les tangentes traversent la courbe
3 fois sur l’intervalle
[−7;7] approximativement pour les points d'abscisses
−3,5 ;
0 et
2.
Exercice 2
1
Déterminer le sens de variation de
f.
- Si f′ est négative sur [a;b] donc que f est décroissante sur [a;b].
- Si f′ est positive sur [a;b] donc que f est croissante sur [a;b].
On va établir le tableau de signe de
f′ et on aura ainsi les variations de
f.
On remarque grâce au tableau de variation de
f′ que :
- f′ est positive sur [−8;10] car le minimum de f vaut 0 lorsque x=−1 . Il en résulte donc que f est croissante sur [−8;10].
Ce qui donne :
2
Déterminer la convexité de
f.
Pour étudier la convexité de la fonction
f, nous allons utiliser les variations de
f′.
- Si f′ est croissante [a;b] alors f est convexe sur [a;b]
- Si f′ est décroissante [a;b] alors f est concave sur [a;b]
D'après le tableau de variation de
f′, on en déduit :
f′ est décroissante [−8;−1] alors f est concave sur [−8;−1]f′ est croissante [−1;3] alors f est convexe sur [−1;3]f′ est décroissante [3;10] alors f est concave sur [3;10]Ainsi :
Exercice 3
1
Parmi les quatre courbes données ci-dessous, indiquer laquelle représente
f′.
La bonne réponse est b.
- Si f est décroissante sur [a;b] alors f′ est négative sur [a;b].
- Si f est croissante sur [a;b] alors f′ est positive sur [a;b].
On va établir le tableau de variations de
f et on pourra en déduire le tableau de signe de
f′.
On remarque grâce au tableau de variation de
f que :
- f est croissante sur [−2;0] alors f′ est positive sur [−2;0]
- f est décroissante sur [0;4] alors f′ est négative sur [0;4]
- f est croissante sur [4;6] alors f′ est positive sur [4;6]
Ce qui donne :
Seule la courbe
b suit alors le signe de
f′ que l'on retrouve dans le tableau de variation.
Exercice 4
1
f′(0)
Les points
A(−1;0) et
B(0;−1) appartiennent à cette tangente. (couleur rose)
A l'aide du point
A et du point
B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(0)=xB−xAyB−yAf′(0)=0−(−1)−1−0f′(0)=1−1Ainsi :
f′(0)=−1 2
f′(−1)
Les points
A(−1;1) et
B(0;−2) appartiennent à cette tangente. (couleur violette)
A l'aide du point
A et du point
B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(−1)=xB−xAyB−yAf′(−1)=0−(−1)−2−1f′(−1)=1−3Ainsi :
f′(−1)=−3 3
f′(1)
Les points
A(1;−1) et
B(2;0) appartiennent à cette tangente. (couleur verte)
A l'aide du point
A et du point
B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(1)=xB−xAyB−yAf′(1)=2−10−(−1)f′(1)=11Ainsi :
f′(1)=1 
Donner les valeurs de :