Pour toutes les questions de cet exercice, on considère la fonction f définie et dérivable sur R dont la courbe représentative Cf est donnée ci-dessous. On note f′ la fonction dérivée de f et f′′ la fonction dérivée de f′.
1
Le nombre de solutions dans [−7;7] de l’équation f′(x)=0 est :
0
1
2
3
Correction
La bonne réponse est c . Pour résoudre graphiquement l'équation f′(x)=0, il faut rechercher les tangentes horizontales à la courbe Cf . Il semble qu’il existe deux tangentes horizontales à la courbe Cf sur [−7;7] approximativement pour les points d'abscisses −1 et 1.
2
Une valeur approchée de la solution de l’équation f(x)=−0,3 sur l’intervalle [−1;6] est :
−3
−0,3
0,3
3
Correction
La bonne réponse est b . Voir les tracés en tirets en bleus sur le graphique.
3
Le nombre de points d’inflexion dans [−7;7] de Cf est :
0
1
2
3
Correction
La bonne réponse est d . Il semble que les tangentes traversent la courbe 3 fois sur l’intervalle [−7;7] approximativement pour les points d'abscisses −3,5 ; 0 et 2.
Exercice 2
Ci-dessous, vous trouverez le tableau de variation de la fonction dérivée f′ d'une fonction dérivée f dérivable sur [−8;10] .
1
Déterminer le sens de variation de f.
Correction
Si f′ est négative sur [a;b] donc que f est décroissante sur [a;b].
Si f′ est positive sur [a;b] donc que f est croissante sur [a;b].
On va établir le tableau de signe de f′ et on aura ainsi les variations de f.
On remarque grâce au tableau de variation de f′ que :
f′ est positive sur [−8;10] car le minimum de f vaut 0 lorsque x=−1 . Il en résulte donc que f est croissante sur [−8;10].
Ce qui donne :
2
Déterminer la convexité de f.
Correction
Pour étudier la convexité de la fonction f, nous allons utiliser les variations de f′.
Si f′ est croissante [a;b] alors f est convexe sur [a;b]
Si f′ est décroissante [a;b] alors f est concave sur [a;b]
D'après le tableau de variation de f′, on en déduit :
f′ est décroissante [−8;−1] alors f est concave sur [−8;−1]
f′ est croissante [−1;3] alors f est convexe sur [−1;3]
f′ est décroissante [3;10] alors f est concave sur [3;10]
Ainsi :
Exercice 3
La courbe ci-contre représente une fonction f définie sur l’intervalle [−2;6].
La fonction f est dérivable sur [−2;6] et l’on note f′ sa fonction dérivée.
1
Parmi les quatre courbes données ci-dessous, indiquer laquelle représente f′.
Correction
La bonne réponse est b.
Si f est décroissante sur [a;b] alors f′ est négative sur [a;b].
Si f est croissante sur [a;b] alors f′ est positive sur [a;b].
On va établir le tableau de variations de f et on pourra en déduire le tableau de signe de f′. On remarque grâce au tableau de variation de f que :
f est croissante sur [−2;0] alors f′ est positive sur [−2;0]
f est décroissante sur [0;4] alors f′ est négative sur [0;4]
f est croissante sur [4;6] alors f′ est positive sur [4;6]
Ce qui donne :
Seule la courbe b suit alors le signe de f′ que l'on retrouve dans le tableau de variation.
Exercice 4
A l'aide de la représentation graphique ci-dessous de la fonction f :
Donner les valeurs de :
1
f′(0)
Correction
Les points A(−1;0) et B(0;−1) appartiennent à cette tangente. (couleur rose) A l'aide du point A et du point B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente. f′(0)=xB−xAyB−yA f′(0)=0−(−1)−1−0 f′(0)=1−1 Ainsi :
f′(0)=−1
2
f′(−1)
Correction
Les points A(−1;1) et B(0;−2) appartiennent à cette tangente. (couleur violette) A l'aide du point A et du point B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente. f′(−1)=xB−xAyB−yA f′(−1)=0−(−1)−2−1 f′(−1)=1−3 Ainsi :
f′(−1)=−3
3
f′(1)
Correction
Les points A(1;−1) et B(2;0) appartiennent à cette tangente. (couleur verte) A l'aide du point A et du point B on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente. f′(1)=xB−xAyB−yA f′(1)=2−10−(−1) f′(1)=11 Ainsi :
f′(1)=1
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