Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Savoir calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel Exercice 1 1
Calculer les coordonnées du vecteur
u → + v → \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} u + v .
Soient
( 0 ; i ⃗ ; j ⃗ ) \left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan et
u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) u ( x y ) et
v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) deux vecteurs .
la somme v → + v → \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v} v + v ( x + x ′ y + y ′ ) \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right) ( x + x ′ y + y ′ ) On rappelle que :
u → ( 2 3 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) u ( 2 3 ) ;
v → ( 5 − 1 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) v ( 5 − 1 ) et
w → ( − 1 7 ) \overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right) w ( − 1 7 ) Ainsi :
Le vecteur
u → + v → \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} u + v a pour coordonnées
( 2 + 5 3 − 1 ) \left(\begin{array}{c} {2+5} \\ {3-1} \end{array}\right) ( 2 + 5 3 − 1 ) soit
( 7 2 ) \left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right) ( 7 2 ) 2
Calculer les coordonnées du vecteur
v → + w → \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w} v + w .
Soient
( 0 ; i ⃗ ; j ⃗ ) \left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan et
u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) u ( x y ) et
v → ( x ′ y ′ ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right) v ( x ′ y ′ ) deux vecteurs .
la somme v → + v → \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v} v + v ( x + x ′ y + y ′ ) \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right) ( x + x ′ y + y ′ ) On rappelle que :
u → ( 2 3 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) u ( 2 3 ) ;
v → ( 5 − 1 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) v ( 5 − 1 ) et
w → ( − 1 7 ) \overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right) w ( − 1 7 ) Ainsi :
Le vecteur
v → + w → \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w} v + w a pour coordonnées
( 5 + ( − 1 ) − 1 + 7 ) \left(\begin{array}{c} {5+\left(-1\right)} \\ {-1+7} \end{array}\right) ( 5 + ( − 1 ) − 1 + 7 ) soit
( 4 6 ) \left(\begin{array}{c} {4} \\ {6} \end{array}\right) ( 4 6 ) 3
Calculer les coordonnées du vecteur
3 v → 3\overrightarrow{v} 3 v .
Soient
( 0 ; i ⃗ ; j ⃗ ) \left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) ( 0 ; i ; j ) un repère du plan et
u → ( x y ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) u ( x y ) et
k {\color{red}k} k un réel .
le vecteur k u → k\overrightarrow{u} k u ( k × x k × y ) \left(\begin{array}{c} {{\color{red}k}\times{\color{blue}x}} \\ {{\color{red}k}\times{\color{blue}y}} \end{array}\right) ( k × x k × y ) On rappelle que :
u → ( 2 3 ) \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) u ( 2 3 ) ;
v → ( 5 − 1 ) \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) v ( 5 − 1 ) et
w → ( − 1 7 ) \overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right) w ( − 1 7 ) Ainsi :
Le vecteur
3 v → {\color{red}3}\overrightarrow{v} 3 v a pour coordonnées
( 3 × 5 3 × ( − 1 ) ) \left(\begin{array}{c} {{\color{red}3}\times5} \\ {{\color{red}3}\times\left(-1\right)} \end{array}\right) ( 3 × 5 3 × ( − 1 ) ) soit
( 15 − 3 ) \left(\begin{array}{c} {15} \\ {-3} \end{array}\right) ( 1 5 − 3 )