Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Exercices Types - Exercice 3

20 min
35
Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne les points A(2;−3)A\left(2;-3\right) , B(4;5)B\left(4;5\right) , C(−2;−1)C\left(-2;-1\right).
Question 1

Déterminer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} .

Correction
  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(4−25−(−3))\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {5-\left(-3\right)} \end{array}\right) d'où :
    AB→(28)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {8} \end{array}\right)

    • Question 2

    Le point DD est tel que ABCDABCD est un parallélogramme. Compléter : AB→=.....\overrightarrow{AB}=.....

    Correction
    Si le point DD est tel que ABCDABCD est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
    AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
    Question 3
    Soit D(xD;yD)D\left(x_{D};y_{D}\right) les coordonnées du point DD.

    Exprimer les coordonnées de DC→\overrightarrow{DC} .

    Correction
  • DC→(xC−xDyC−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi
    DC→(−2−xD−1−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {-2-x_{D}} \\ {-1-y_{D}} \end{array}\right)
    • Question 4

    En déduire xDx_{D} et yDy_{D} .

    Correction
    D'après la question 22, nous savons que : AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
    De plus : DC→(−2−xD−1−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {-2-x_{D}} \\ {-1-y_{D}} \end{array}\right) et AB→(28)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {8} \end{array}\right)
    Il en résulte donc que :
    (−2−xD−1−yD)=(28)\left(\begin{array}{c} {-2-x_{D}} \\ {-1-y_{D}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {8} \end{array}\right)
    On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
    {−2−xD=2−1−yD=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {-2-x_{D}} & {=} & {2} \\ {-1-y_{D}} & {=} & {8} \end{array}\right.
    Ainsi :
    {−xD=2+2−yD=8+1\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {2+2} \\ {-y_{D}} & {=} & {8+1} \end{array}\right.
    {−xD=4−yD=9\left\{\begin{array}{ccccccc} {-x_{D}} & {=} & {4} \\ {-y_{D}} & {=} & {9} \end{array}\right.
    {xD=−4yD=−9\left\{\begin{array}{ccccccc} {x_{D}} & {=} & {-4} \\ {y_{D}} & {=} & {-9} \end{array}\right.

    Les coordonnées du point DD sont alors D(−4;−9)D\left(-4;-9\right)