Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Exercices Types
Exercice 1
Dans un repère orthonormé (0;i;j) , on donne les points A(−2;3) , B(−1;−2) , C(8;0) et D(7;5).
1
Faire une figure.
Correction
2
Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC.
Correction
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(−1−(−2)−2−3) d'où :
AB(1−5)
DC(xC−xDyC−yD) ainsi DC(8−70−5) d'où :
DC(1−5)
3
Que peut-on en déduire? justifier.
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et quatre points A(xA;yA) ; B(xB;yB) ; C(xC;yC) et D(xD;yD)
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC. Autrement dit, il faut vérifier que deux vecteurs opposées soient égaux.
Comme AB=DC alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
4
Calculer les longueurs AC et BD.
Correction
Soit (0;i;j) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). La distanceAB est donnée par la formule :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
D'une part : AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2 équivaut successivement à : AC=(8−(−2))2+(0−3)2 AC=102+32
AC=109
D'autre part : BD=(xD−xB)2+(yD−yB)2 équivaut successivement à : BD=(7−(−1))2+(5−(−2))2 BD=82+72
BD=113
5
Calculer les coordonnées du point E tel que AE=DB
Correction
Notons E(x;y) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs AE et DB. AE(xE−xAyE−yA) ainsi AE(x−(−2)y−3) d'où : AE(x+2y−3) DB(xB−xDyB−yD) ainsi DB(−1−7−2−5) d'où : DB(−8−7) Or nous savons que : AE=DB. Il vient alors que : (x+2y−3)=(−8−7) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {x+2y−3==−8−7 Ainsi : {xy==−8−2−7+3
{xy==−10−4
Les coordonnées du point E sont alors E(−10;−4)
Exercice 2
Soit (0;i;j) un repère du plan. On a placé les différents points dans le graphique ci-dessous :
1
Donner un vecteur opposé au vecteur FJ et donner cette information en écriture mathématique.
Correction
Nous pouvons citer par exemple les vecteurs IE et GC ou encore EA.
Si nous prenons le vecteur JF qui est également un vecteur opposé au vecteur FJ, alors l'écriture mathématique est la suivante :
−FJ=JF
2
A partir de L(4;7) et C(7;1). Calculer les coordonnées du vecteur LC puis sa norme.
Correction
LC(xC−xLyC−yL) ainsi LC(7−41−7) d'où :
LC(3−6)
La norme du vecteur LC correspond à la distance du segment [LC]
Soit (0;i;j) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). La distanceAB est donnée par la formule :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Ainsi : LC=(xC−xL)2+(yC−yL)2 équivaut successivement à : LC=(7−4)2+(1−7)2 LC=32+(−6)2 LC=45 LC=9×5
LC=35
Sachant que K(6;7) et PK(24).
3
Calculer les coordonnées du point P. Le point P est-il confondu avec un point de la figure? Préciser lequel?
Correction
Nous savons que PK(24) et également que : PK(xK−xPyK−yP). Finalement : PK(6−xP7−yP) Il vient alors que : (6−xP7−yP)=(24) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {6−xP7−yP==24 équivaut successivement à : {−xP−yP==2−64−7 {−xP−yP==−4−3
{xPyP==43
Les coordonnées du point P sont alors P(4;3) qui est confondu avec le point E.
4
Soit IQ=BH+AB. Déterminer les coordonnées du point Q.
Correction
D'après le repère, nous pouvons lire les coordonnées des points I, B, H et A. On a alors : I(5;5) ; B(5;1) ; H(7;5) et A(3;1)
BH(xH−xByH−yC) ainsi BH(7−55−1) d'où :
BH(24)
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(5−31−1) d'où :
AB(20)
BH+AB=(24)+(20) BH+AB=(44)
IQ(xQ−xIyQ−yI) ainsi :
IQ(xQ−5yQ−5)
Nous savons que : IQ=BH+AB Il vient alors que : (xQ−5yQ−5)=(44) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {xQ−5yQ−5==44 équivaut successivement à : {xQyQ==4+55+4 {xQyQ==99 Les coordonnées du point Q sont Q(9;9)
5
Soit DR=AB−JH. Déterminer les coordonnées du point R.
Correction
D'après le repère, nous pouvons lire les coordonnées des points J, B, H et A. On a alors : J(3;5) ; B(5;1) ; H(7;5) et A(3;1)
JH(xH−xJyH−yJ) ainsi JH(7−35−5) d'où :
JH(40)
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(5−31−1) d'où :
AB(20)
AB−JH=(20)−(40) AB−JH=(−20)
DR(xR−xDyR−yD) ainsi :
DR(xR−6yR−3)
Nous savons que : DR=AB−JH Il vient alors que : (xR−6yR−3)=(−20) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {xR−6yR−3==−20 équivaut successivement à : {xRyR==−2+63 {xRyR==43 Les coordonnées du point R sont R(4;3)
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (0;i;j), on donne les points A(2;−3) , B(4;5) , C(−2;−1).
1
Déterminer les coordonnées du vecteur AB .
Correction
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(4−25−(−3)) d'où :
AB(28)
2
Le point D est tel que ABCD est un parallélogramme. Compléter : AB=.....
Correction
Si le point D est tel que ABCD est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
AB=DC
Soit D(xD;yD) les coordonnées du point D.
3
Exprimer les coordonnées de DC .
Correction
DC(xC−xDyC−yD) ainsi
DC(−2−xD−1−yD)
4
En déduire xD et yD .
Correction
D'après la question 2, nous savons que : AB=DC De plus : DC(−2−xD−1−yD) et AB(28) Il en résulte donc que : (−2−xD−1−yD)=(28) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {−2−xD−1−yD==28 Ainsi : {−xD−yD==2+28+1 {−xD−yD==49
{xDyD==−4−9
Les coordonnées du point D sont alors D(−4;−9)
Exercice 4
Dans un repère orthonormé (0;i;j), on donne les points A(0;1) , B(2;4) , C(4;1).
1
On considère le point D tel que ABCD est un parallélogramme. Traduire cela par une égalité de deux vecteurs.
Correction
Si le point D est tel que ABCD est un parallélogramme alors les vecteurs opposés sont égaux. De ce fait :
AB=DC
2
Déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
Correction
Nous savons que AB=DC. Commençons par calculer le vecteur AB.
AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(2−04−1) d'où :
AB(23)
Calculons maintenant le vecteur DC. Soit D(xD;yD) les coordonnées du point D.
DC(xC−xDyC−yD) ainsi
DC(4−xD1−yD)
Comme AB=DC. Il en résulte donc que : (4−xD1−yD)=(23)On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {4−xD1−yD==23 Ainsi : {−xD−yD==2−43−1 {−xD−yD==−22
{xDyD==2−2
Les coordonnées du point D sont alors D(2;−2)
3
Montrer que ABCD est un losange.
Correction
Nous savons que ABCD est un parallélogramme. Il nous suffit de montrer que si deux cotés consécutifs d'un parallélogramme sont égaux alors ce parallélogramme sera alors un losange.
Soit (0;i;j) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). La distanceAB est donnée par la formule :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
D'une part : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 équivaut successivement à : AB=(2−0)2+(4−1)2 AB=22+32
AB=13
D'autre part : BC=(xC−xB)2+(yC−yB)2 équivaut successivement à : BC=(4−2)2+(1−4)2 BC=22+(−3)2
BC=13
ABCD est un parallélogramme avec deux cotés consécutifs égaux. ABCD est bien un losange.
4
ABCD est-il un carré?
Correction
Nous savons que ABCD est un losange. Pour que ABCD soit un carré, il faut que les diagonales soient de même mesure. Les diagonales sont ici [AC] et [BD]. D'une part : AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2 équivaut successivement à : AC=(4−0)2+(1−1)2 AC=42+02
AC=4
D'autre part : BD=(xD−xB)2+(yD−yB)2 équivaut successivement à : BD=(2−2)2+(−2−4)2 BD=02+(−6)2
BD=6
Les diagonales n'ont pas la même mesure. Le losange ABCD n'est donc pas un carré.
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