Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer que trois points sont alignés à l'aide de deux vecteurs colinéaires - Exercice 2

10 min
20
Question 1

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points P(1;3)P\left(1;3\right) et R(−1;−2)R\left(-1;-2\right).
Soit xx un réel.
Soit le point E(x;5)E\left(x;5\right). Déterminer l'abscisse de EE tel que EE appartienne à la droite (PR)\left(PR\right).

Correction
Si le point EE appartient à la droite (PR)\left(PR\right) cela signifie que les points EE, PP et RR sont alignés.
Nous allons donc calculer les vecteurs EP→\overrightarrow{EP} et PR→\overrightarrow{PR} et ces deux vecteurs seront dans ce cas colinéaires.
EP→(xP−xEyP−yE)\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{E}} \\ {y_{P}-y_{E}} \end{array}\right) ainsi EP→(1−x3−5)\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {1-x} \\ {3-5} \end{array}\right) d'où : EP→(1−x−2)\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {1-x} \\ {-2} \end{array}\right)
PR→(xR−xPyR−yP)\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {x_{R}-x_{P}} \\ {y_{R}-y_{P}} \end{array}\right) ainsi PR→(−1−1−2−3)\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {-2-3} \end{array}\right) d'où : PR→(−2−5)\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xy′−x′yxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Les vecteurs EP→\overrightarrow{EP} et PR→\overrightarrow{PR} sont colinéaires, il vient alors que :
(1−x)×(−5)−(−2)×(−2)=0\left(1-x\right)\times \left(-5\right)-\left(-2\right)\times \left(-2\right)=0
−5+5x−4=0-5+5x-4=0
5x−9=05x-9=0
5x=95x=9
Ainsi :
x=95x=\frac{9}{5}

L'abscisse de EE tel que EE appartienne à la droite (PR)\left(PR\right) est donc x=95x=\frac{9}{5}.
Question 2

Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(2;1)A\left(2;1 \right) ; B(3;5)B\left(3;5\right).
Déterminer l’ordonnée yy du point C(−1;y)C\left(-1;y \right) tel que les points AA, BB et CC soient alignés.

Correction
Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
Ainsi :
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(3−25−1)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {5-1} \end{array}\right) d'où : AB→(14)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {4} \end{array}\right)
AC→(xC−xAyC−yA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AC→(−1−2y−1)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {y-1} \end{array}\right) d'où : AC→(−3y−1)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {y-1} \end{array}\right)
Nous voulons que les points AA, BB et CC soient alignés, cela signifie donc que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xy′−x′yxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det⁡(u→,v→)=xy′−x′y\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Il vient alors que :
1×(y−1)−4×(−3)=01\times \left(y-1\right)-4\times \left(-3\right)=0
y−1+12=0y-1+12=0
D'où :
y=−11y=-11

Les points AA, BB et CC sont alignés si l'ordonné du point CC est égale à y=−11y=-11. Donc les coordonnées du point CC sont alors C(−1;−11)C\left(-1;-11 \right)