Comment montrer que trois points sont alignés à l'aide de deux vecteurs colinéaires

On commence par calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {3-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
On a : $-2\times 1-2\times\left(-3\right)=-2+6=4\ne 0$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

On considère les points $A\left(3;-2\right)$ ; $B\left(6;-4\right)$ et $C\left(-6;4\right)$.
On commence par calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Ainsi :
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6-3} \\ {-4-\left(-2\right)} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6-3} \\ {4-\left(-2\right)} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-9} \\ {6} \end{array}\right)$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
On a : $3\times 6-\left(-2\right)\times\left(-9\right)=18-18=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

On commence par calculer les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$. Ainsi :
$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {5-4} \\ {0-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{M}} \\ {y_{P}-y_{M}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {2-4} \\ {2-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {\frac{4}{3}} \end{array}\right)$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ sont colinéaires.
On a : $1\times \frac{4}{3}-\left(\frac{-2}{3}\right)\times\left(-2\right)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ sont colinéaires. Donc les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.

Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$. Ainsi :
$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2-0} \\ {3-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{N}} \\ {y_{P}-y_{N}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {6-3} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$ sont colinéaires.
On a : $2\times 3-2\times2=6-4=2\ne0$
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$ ne sont pas colinéaires. Donc les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.

Si le point $E$ appartient à la droite $\left(PR\right)$ cela signifie que les points $E$, $P$ et $R$ sont alignés.
Nous allons donc calculer les vecteurs $\overrightarrow{EP}$ et $\overrightarrow{PR}$ et ces deux vecteurs seront dans ce cas colinéaires.
$\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{E}} \\ {y_{P}-y_{E}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {1-x} \\ {3-5} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{EP} \left(\begin{array}{c} {1-x} \\ {-2} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {x_{R}-x_{P}} \\ {y_{R}-y_{P}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {-2-3} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{PR} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)$
Les vecteurs $\overrightarrow{EP}$ et $\overrightarrow{PR}$ sont colinéaires, il vient alors que :
$\left(1-x\right)\times \left(-5\right)-\left(-2\right)\times \left(-2\right)=0$
$-5+5x-4=0$
$5x-9=0$
$5x=9$
Ainsi :
L'abscisse de $E$ tel que $E$ appartienne à la droite $\left(PR\right)$ est donc $x=\frac{9}{5}$.

Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Ainsi :
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {5-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {4} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {y-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {y-1} \end{array}\right)$
Nous voulons que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés, cela signifie donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Il vient alors que :
$1\times \left(y-1\right)-4\times \left(-3\right)=0$
$y-1+12=0$
D'où :
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si l'ordonné du point $C$ est égale à $y=-11$. Donc les coordonnées du point $C$ sont alors $C\left(-1;-11 \right)$