Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Comment montrer que trois points sont alignés à l'aide de deux vecteurs colinéaires
Exercice 1
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(2;1) ; B(0;3) et C(−1;2).
1
Les points A, B et C sont-ils alignés?
Correction
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et ACsont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB et AC. AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(0−23−1) d'où : AB(−22) AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−1−22−1) d'où : AC(−31) Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
On a : −2×1−2×(−3)=−2+6=4=0 Les vecteurs AB et ACne sont pas colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(3;−2) ; B(6;−4) et C(−6;4).
2
Les points A, B et C sont-ils alignés?
Correction
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et ACsont colinéaires.
On considère les points A(3;−2) ; B(6;−4) et C(−6;4). On commence par calculer les vecteurs AB et AC. Ainsi : AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(6−3−4−(−2)) d'où : AB(3−2) AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−6−34−(−2)) d'où : AC(−96) Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
On a : 3×6−(−2)×(−9)=18−18=0 Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Donc les points A, B et C sont alignés.
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points M(4;32) ; N(5;0) et P(2;2).
3
Les points M, N et P sont-ils alignés?
Correction
Les points M, N et P sont alignés si, et seulement si les vecteurs MN et MPsont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs MN et MP. Ainsi : MN(xN−xMyN−yM) ainsi MN(5−40−32) d'où : MN(1−32) MP(xP−xMyP−yM) ainsi MP(2−42−32) d'où : MP(−234) Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs MN et MP sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
On a : 1×34−(3−2)×(−2)=34−34=0 Les vecteurs MN et MP sont colinéaires. Donc les points M, N et P sont alignés.
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points M(0;1) ; N(2;3) et P(4;6).
4
Les points M, N et P sont-ils alignés?
Correction
Les points M, N et P sont alignés si, et seulement si les vecteurs MN et MPsont colinéaires.
Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs MN et NP. Ainsi : MN(xN−xMyN−yM) ainsi MN(2−03−1) d'où : MN(22) NP(xP−xNyP−yN) ainsi NP(4−26−3) d'où : NP(23) Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs MN et NP sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
On a : 2×3−2×2=6−4=2=0 Les vecteurs MN et NPne sont pas colinéaires. Donc les points M, N et P ne sont pas alignés.
Exercice 2
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points P(1;3) et R(−1;−2).
1
Soit x un réel. Soit le point E(x;5). Déterminer l'abscisse de E tel que E appartienne à la droite (PR).
Correction
Si le point E appartient à la droite (PR) cela signifie que les points E, P et R sont alignés. Nous allons donc calculer les vecteurs EP et PR et ces deux vecteurs seront dans ce cas colinéaires. EP(xP−xEyP−yE) ainsi EP(1−x3−5) d'où : EP(1−x−2) PR(xR−xPyR−yP) ainsi PR(−1−1−2−3) d'où : PR(−2−5)
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
Les vecteurs EP et PR sont colinéaires, il vient alors que : (1−x)×(−5)−(−2)×(−2)=0 −5+5x−4=0 5x−9=0 5x=9 Ainsi :
x=59
L'abscisse de E tel que E appartienne à la droite (PR) est donc x=59.
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(2;1) ; B(3;5).
2
Déterminer l’ordonnée y du point C(−1;y) tel que les points A, B et C soient alignés.
Correction
Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs AB et AC. Ainsi : AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(3−25−1) d'où : AB(14) AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−1−2y−1) d'où : AC(−3y−1) Nous voulons que les points A, B et C soient alignés, cela signifie donc que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : x×y′−x′×y=0 autrement dit : xy′−x′y=0.
Le calcul xy′−x′y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xy′−x′y
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et u(x′y′).
Il vient alors que : 1×(y−1)−4×(−3)=0 y−1+12=0 D'où :
y=−11
Les points A, B et C sont alignés si l'ordonné du point C est égale à y=−11. Donc les coordonnées du point C sont alors C(−1;−11)
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