Comment montrer que trois points sont alignés à l'aide de deux vecteurs colinéaires - Exercice 1

On commence par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {3-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.
On a : $$\det \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)= -2\times 1-2\times\left(-3\right)=-2+6=4\ne 0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ ne sont pas colinéaires. Donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés.

On considère les points $$A\left(3;-2\right)$$ ; $$B\left(6;-4\right)$$ et $$C\left(-6;4\right)$$.
On commence par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6-3} \\ {-4-\left(-2\right)} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6-3} \\ {4-\left(-2\right)} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-9} \\ {6} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.
On a : $$\det \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)=3\times 6-\left(-2\right)\times\left(-9\right)=18-18=0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires. Donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ sont alignés.

On commence par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {5-4} \\ {0-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{M}} \\ {y_{P}-y_{M}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {2-4} \\ {2-\frac{2}{3}} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {\frac{4}{3}} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$ sont colinéaires.
On a : $$\det \left(\overrightarrow{MN} ,\overrightarrow{MP} \right)=1\times \frac{4}{3}-\left(\frac{-2}{3}\right)\times\left(-2\right)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{MP}$$ sont colinéaires. Donc les points $$M$$, $$N$$ et $$P$$ sont alignés.

Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{NP}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2-0} \\ {3-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{N}} \\ {y_{P}-y_{N}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {6-3} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{NP}$$ sont colinéaires.
On a : $$\det \left(\overrightarrow{MN} ,\overrightarrow{MP} \right)=2\times 3-2\times2=6-4=2\ne0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{NP}$$ ne sont pas colinéaires. Donc les points $$M$$, $$N$$ et $$P$$ ne sont pas alignés.