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Comment montrer que trois points sont alignés à l'aide de deux vecteurs colinéaires - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(2;1)A\left(2;1\right) ; B(0;3)B\left(0;3\right) et C(1;2)C\left(-1;2\right).

Les points AA, BB et CC sont-ils alignés?

Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}.
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(0231)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {0-2} \\ {3-1} \end{array}\right) d'où : AB(22)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)
AC(xCxAyCyA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AC(1221)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {2-1} \end{array}\right) d'où : AC(31)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xyxyxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xyxy\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : det(AB,AC)=2×12×(3)=2+6=40\det \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)= -2\times 1-2\times\left(-3\right)=-2+6=4\ne 0
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires. Donc les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.
Question 2
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(3;2)A\left(3;-2\right) ; B(6;4)B\left(6;-4\right) et C(6;4)C\left(-6;4\right).

Les points AA, BB et CC sont-ils alignés?

Correction
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

On considère les points A(3;2)A\left(3;-2\right) ; B(6;4)B\left(6;-4\right) et C(6;4)C\left(-6;4\right).
On commence par calculer les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}. Ainsi :
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(634(2))\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {6-3} \\ {-4-\left(-2\right)} \end{array}\right) d'où : AB(32)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)
AC(xCxAyCyA)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AC(634(2))\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6-3} \\ {4-\left(-2\right)} \end{array}\right) d'où : AC(96)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-9} \\ {6} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xyxyxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xyxy\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : det(AB,AC)=3×6(2)×(9)=1818=0\det \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)=3\times 6-\left(-2\right)\times\left(-9\right)=18-18=0
Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Donc les points AA, BB et CC sont alignés.
Question 3
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points M(4;23)M\left(4;\frac{2}{3} \right) ; N(5;0)N\left(5;0\right) et P(2;2)P\left(2;2\right).

Les points MM, NN et PP sont-ils alignés?

Correction
  • Les points MM, NN et PP sont alignés si, et seulement si les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP}. Ainsi :
MN(xNxMyNyM)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right) ainsi MN(54023)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {5-4} \\ {0-\frac{2}{3}} \end{array}\right) d'où : MN(123)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-\frac{2}{3}} \end{array}\right)
MP(xPxMyPyM)\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{M}} \\ {y_{P}-y_{M}} \end{array}\right) ainsi MP(24223)\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {2-4} \\ {2-\frac{2}{3}} \end{array}\right) d'où : MP(243)\overrightarrow{MP} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {\frac{4}{3}} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont colinéaires.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xyxyxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xyxy\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : det(MN,MP)=1×43(23)×(2)=4343=0\det \left(\overrightarrow{MN} ,\overrightarrow{MP} \right)=1\times \frac{4}{3}-\left(\frac{-2}{3}\right)\times\left(-2\right)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0
Les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont colinéaires. Donc les points MM, NN et PP sont alignés.
Question 4
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points M(0;1)M\left(0;1 \right) ; N(2;3)N\left(2;3\right) et P(4;6)P\left(4;6\right).

Les points MM, NN et PP sont-ils alignés?

Correction
  • Les points MM, NN et PP sont alignés si, et seulement si les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et MP\overrightarrow{MP} sont colinéaires.
Nous allons calculer tout d'abord les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et NP\overrightarrow{NP}. Ainsi :
MN(xNxMyNyM)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{M}} \\ {y_{N}-y_{M}} \end{array}\right) ainsi MN(2031)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2-0} \\ {3-1} \end{array}\right) d'où : MN(22)\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)
NP(xPxNyPyN)\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{N}} \\ {y_{P}-y_{N}} \end{array}\right) ainsi NP(4263)\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {4-2} \\ {6-3} \end{array}\right) d'où : NP(23)\overrightarrow{NP} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et NP\overrightarrow{NP} sont colinéaires.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • Le calcul xyxyxy'-x'y est appelé le déterminant . Ainsi : det(u,v)=xyxy\det \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : det(MN,MP)=2×32×2=64=20\det \left(\overrightarrow{MN} ,\overrightarrow{MP} \right)=2\times 3-2\times2=6-4=2\ne0
Les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et NP\overrightarrow{NP} ne sont pas colinéaires. Donc les points MM, NN et PP ne sont pas alignés.