Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires - Exercice 3

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Question 1

Déterminer le réel mm pour que les vecteurs u→(2;6)\overrightarrow{u} \left(2;6\right) et v→(m;3)\overrightarrow{v} \left(m;3\right) soient colinéaires.

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
Les vecteurs u→(2;6)\overrightarrow{u} \left(2;6\right) et v→(m;3)\overrightarrow{v} \left(m;3\right) sont colinéaires. Il en résulte donc que :
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0
2×3−6×m=02\times 3-6\times m=0
6−6m=06-6m=0
−6m=−6-6m=-6
m=−6−6m=\frac{-6}{-6}
m=1m=1

Les vecteurs u→(2;6)\overrightarrow{u} \left(2;6\right) et v→(m;3)\overrightarrow{v} \left(m;3\right) sont colinéaires si et seulement si m=1m=1.