Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires - Exercice 2

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Soit (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) ; C(3;1)C\left(3;1\right) et D(0;−5)D\left(0;-5\right).
Question 1

Le vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont-ils colinéaires?

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées vecteur AB→\overrightarrow{AB} sont (xB−xAyB−yA)\left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)
Nous rappelons que A(1;2)A\left(1;2\right) , B(5;9)B\left(5;9\right) ; C(3;1)C\left(3;1\right) et D(0;−5)D\left(0;-5\right).
Il vient alors que :
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(5−19−2)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-1} \\ {9-2} \end{array}\right) d'où : AB→(47)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {7} \end{array}\right)
CD→(xD−xCyD−yC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{C}} \\ {y_{D}-y_{C}} \end{array}\right) ainsi CD→(0−3−5−1)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {0-3} \\ {-5-1} \end{array}\right) d'où : CD→(−3−6)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {-6} \end{array}\right)
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 4×(−6)−7×(−3)=−24+21=−3≠04\times \left(-6\right)-7\times \left(-3\right)=-24+21=-3\ne 0
Nous avons donc
det⁡(AB→;CD→)≠0\det\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right)\ne0

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ne sont pas colinéaires.