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Seconde
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Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires - Exercice 1
9 min
15
Soient
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1
u
→
(
1
;
2
)
\overrightarrow{u} \left(1;2\right)
u
(
1
;
2
)
et
v
→
(
−
2
;
4
)
\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)
v
(
−
2
;
4
)
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
sont
colinéaires
si et seulement si
det
(
u
→
;
v
→
)
=
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0
det
(
u
;
v
)
=
0
autrement dit si :
x
y
′
−
x
′
y
=
0
xy'-x'y=0
x
y
′
−
x
′
y
=
0
.
det
(
u
→
;
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
;
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
est appelé
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
.
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
On a :
1
×
4
−
2
×
(
−
2
)
=
4
+
4
=
8
≠
0
1\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0
1
×
4
−
2
×
(
−
2
)
=
4
+
4
=
8
=
0
Nous avons donc
det
(
u
→
;
v
→
)
≠
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0
det
(
u
;
v
)
=
0
Les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
ne sont pas colinéaires.
Question 2
u
→
(
3
−
6
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right)
u
(
3
−
6
)
et
v
→
(
−
1
2
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)
v
(
−
1
2
)
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
sont
colinéaires
si et seulement si
det
(
u
→
;
v
→
)
=
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0
det
(
u
;
v
)
=
0
autrement dit si :
x
y
′
−
x
′
y
=
0
xy'-x'y=0
x
y
′
−
x
′
y
=
0
.
det
(
u
→
;
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
;
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
est appelé
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
.
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
On a :
3
×
2
−
(
−
6
)
×
(
−
1
)
=
6
−
6
=
0
3\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0
3
×
2
−
(
−
6
)
×
(
−
1
)
=
6
−
6
=
0
Nous avons donc
det
(
u
→
;
v
→
)
=
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0
det
(
u
;
v
)
=
0
Les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont colinéaires.
Question 3
u
→
(
2
;
−
3
)
\overrightarrow{u} \left(2;-3\right)
u
(
2
;
−
3
)
et
v
→
(
−
1
;
−
1
)
\overrightarrow{v} \left(-1;-1\right)
v
(
−
1
;
−
1
)
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan.
Deux vecteurs
u
→
(
x
;
y
)
\overrightarrow{u} \left(x;y\right)
u
(
x
;
y
)
et
v
→
(
x
′
;
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(x';y'\right)
v
(
x
′
;
y
′
)
sont
colinéaires
si et seulement si
det
(
u
→
;
v
→
)
=
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0
det
(
u
;
v
)
=
0
autrement dit si :
x
y
′
−
x
′
y
=
0
xy'-x'y=0
x
y
′
−
x
′
y
=
0
.
det
(
u
→
;
v
→
)
=
x
y
′
−
x
′
y
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y
det
(
u
;
v
)
=
x
y
′
−
x
′
y
est appelé
d
e
ˊ
terminant
\text{\color{red}déterminant}
d
e
ˊ
terminant
.
On peut également écrire les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sous la forme
u
→
(
x
y
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)
u
(
x
y
)
et
v
→
(
x
′
y
′
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)
v
(
x
′
y
′
)
.
On a :
2
×
(
−
1
)
−
(
−
1
)
×
(
−
3
)
=
−
2
−
3
=
−
5
≠
0
2\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times \left(-3\right)=-2-3=-5\ne 0
2
×
(
−
1
)
−
(
−
1
)
×
(
−
3
)
=
−
2
−
3
=
−
5
=
0
Nous avons donc
det
(
u
→
;
v
→
)
≠
0
\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0
det
(
u
;
v
)
=
0
Les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
ne sont pas colinéaires.