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Comment montrer que deux droites sont paralléles à l'aide de deux vecteurs colinéaires - Exercice 1

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Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;3)A\left(1;3\right) ; B(−1;−2)B\left(-1;-2\right) ; C(4;0)C\left(4;0\right) et D(8;10)D\left(8;10\right).
Question 1

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles?

Correction
  • Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD}. Ainsi :
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(−1−1−2−3)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {-2-3} \end{array}\right) d'où : AB→(−2−5)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)
CD→(xD−xCyD−yC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{C}} \\ {y_{D}-y_{C}} \end{array}\right) ainsi CD→(8−410−0)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {8-4} \\ {10-0} \end{array}\right) d'où : CD→(410)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {10} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u→(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v→(x′;y′)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
  • det⁡(u→;v→)=xy′−x′y\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sous la forme u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : −2×10−(−5)×4=−20+20=0-2\times 10-\left(-5\right)\times4=-20+20=0
Nous avons donc
det⁡(u→;v→)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires. Donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.