Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer que deux droites sont paralléles à l'aide de deux vecteurs colinéaires - Exercice 1

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Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;3)A\left(1;3\right) ; B(1;2)B\left(-1;-2\right) ; C(4;0)C\left(4;0\right) et D(8;10)D\left(8;10\right).
Question 1

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles?

Correction
  • Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD}. Ainsi :
AB(xBxAyByA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB(1123)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-1-1} \\ {-2-3} \end{array}\right) d'où : AB(25)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-5} \end{array}\right)
CD(xDxCyDyC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{C}} \\ {y_{D}-y_{C}} \end{array}\right) ainsi CD(84100)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {8-4} \\ {10-0} \end{array}\right) d'où : CD(410)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {10} \end{array}\right)
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • det(u;v)=xyxy\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 2×10(5)×4=20+20=0-2\times 10-\left(-5\right)\times4=-20+20=0
Nous avons donc
det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires. Donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.