Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 4

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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points R(−1;4)R\left(-1;4 \right) ; S(1;2)S\left(1;2\right) ; T(−3;2)T\left(-3;2\right) et U(3;4)U\left(3;4\right).

Faites une figure.

Correction
Question 2

Montrer que le quadrilatère RUSTRUST est un parallélogramme.

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et quatre points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) ; B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right) ; C(xC;yC)C\left(x_{C} ;y_{C} \right) et D(xD;yD)D\left(x_{D} ;y_{D} \right)
  • Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Autrement dit, il faut vérifier que deux vecteurs opposées soient égaux.
  • RU→(xU−xRyU−yR)\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {x_{U}-x_{R}} \\ {y_{U}-y_{R}} \end{array}\right) ainsi RU→(3−(−1)4−4)\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {3-\left(-1\right)} \\ {4-4} \end{array}\right) d'où :
    RU→(40)\overrightarrow{RU} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)
  • TS→(xS−xTyS−yT)\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {x_{S}-x_{T}} \\ {y_{S}-y_{T}} \end{array}\right) ainsi TS→(1−(−3)2−2)\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-3\right)} \\ {2-2} \end{array}\right) d'où :
    TS→(40)\overrightarrow{TS} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)
    • Comme RU→=TS→\overrightarrow{RU}=\overrightarrow{TS} alors le quadrilatère RUSTRUST est un parallélogramme.