Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 3

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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(−4;−1)A\left(-4;-1 \right) ; B(4;−2)B\left(4;-2\right) ; C(8;5)C\left(8;5\right) et D(0;6)D\left(0;6\right).

Faites une figure.

Correction
Question 2

Montrer que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et quatre points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) ; B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right) ; C(xC;yC)C\left(x_{C} ;y_{C} \right) et D(xD;yD)D\left(x_{D} ;y_{D} \right)
  • Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Autrement dit, il faut vérifier que deux vecteurs opposées soient égaux.
  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(4−(−4)−2−(−1))\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4-\left(-4\right)} \\ {-2-\left(-1\right)} \end{array}\right) d'où :
    AB→(8−1)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-1} \end{array}\right)
  • DC→(xC−xDyC−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi DC→(8−05−6)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {8-0} \\ {5-6} \end{array}\right) d'où :
    DC→(8−1)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {8} \\ {-1} \end{array}\right)
    • Comme AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} alors le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.