Comment déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle - Exercice 1

Notons $$M\left(x;y \right)$$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AM}$$.
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {4-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{A}} \\ {y_{M}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)$$
De plus : $$2\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3\times2} \\ {3\times2} \end{array}\right)$$ ainsi $$2\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {6} \end{array}\right)$$.
Or nous savons que : $$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$$.
Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-6} \\ {6} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2} & {=} & {-6} \\ {y-1} & {=} & {6} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-6+2} \\ {y} & {=} & {6+1} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$M$$ sont alors $$M\left(-4;7\right)$$

Notons $$P\left(x;y \right)$$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ ; $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{BP}$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {0-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {4-1} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{B}} \\ {y_{P}-y_{B}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-0} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y} \end{array}\right)$$
Enfin calculons : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$$
Or nous savons que $$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$. Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-3} & {=} & {-2} \\ {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-2+3} \\ {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point $$M$$ sont alors $$P\left(1;2\right)$$