Comment déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle

Notons $M\left(x;y \right)$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {4-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{A}} \\ {y_{M}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)$
De plus : $2\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3\times2} \\ {3\times2} \end{array}\right)$ ainsi $2\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {6} \end{array}\right)$.
Or nous savons que : $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$.
Il vient alors que :
$\left(\begin{array}{c} {x-2} \\ {y-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-6} \\ {6} \end{array}\right)$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-2} & {=} & {-6} \\ {y-1} & {=} & {6} \end{array}\right.$
Ainsi :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-6+2} \\ {y} & {=} & {6+1} \end{array}\right.$

Les coordonnées du point $M$ sont alors $M\left(-4;7\right)$

Notons $P\left(x;y \right)$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BP}$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {0-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1-2} \\ {4-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x_{P}-x_{B}} \\ {y_{P}-y_{B}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-0} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{BP} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y} \end{array}\right)$
Enfin calculons : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$
Or nous savons que $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Il vient alors que :
$\left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \end{array}\right)$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-3} & {=} & {-2} \\ {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$
Ainsi :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-2+3} \\ {y} & {=} & {2} \end{array}\right.$

Les coordonnées du point $M$ sont alors $P\left(1;2\right)$

On commence par calculer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Ainsi :
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3-2} \\ {2-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2-2} \\ {-3-1} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-4} \end{array}\right)$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
On a : $1\times \left(-4\right)-1\times\left(-4\right)=-4+4=0$
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Notons $M\left(x;y \right)$ les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BM}$.
$\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {x_{D}-x_{B}} \\ {y_{D}-y_{B}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {8-3} \\ {-13-2} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-15} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{B}} \\ {y_{M}-y_{B}} \end{array}\right)$ ainsi $\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)$ d'où : $\overrightarrow{BM} \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)$
De plus : $\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {5\times\frac{1}{5}} \\ {-15\times\frac{1}{5}} \end{array}\right)$ ainsi $\frac{1}{5}\overrightarrow{BD} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)$.
Or nous savons que : $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BD}$.
Il vient alors que :
$\left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)$
On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système.
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x-3} & {=} & {1} \\ {y-2} & {=} & {-3} \end{array}\right.$
Ainsi :
$\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1+3} \\ {y} & {=} & {-3+2} \end{array}\right.$

Les coordonnées du point $M$ sont alors $M\left(4;-1\right)$

Il vient alors que :
$\text{\color{red}D'une part :}$
$x_{K} =\frac{x_{C} +x_{M} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{K} =\frac{-2+4}{2}$
$x_{K} =\frac{2}{2}$

$\text{\color{red}D'autre part :}$
$y_{K} =\frac{y_{C} +y_{M} }{2}$
$y_{K} =\frac{-3-1}{2}$
$y_{K} =\frac{-4}{2}$

Les coordonnées du milieu $K$ du segment $\left[CM\right]$ sont $K\left(1 ;-2\right)$