Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée
Comment déterminer les coordonnées d'un point à l'aide d'une relation vectorielle
Exercice 1
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(2;1) ; B(3;0) et C(−1;4).
1
Déterminer les coordonnées du point M tel que AM=2AC.
Correction
Notons M(x;y) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs AC et AM. AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−1−24−1) d'où : AC(−33) AM(xM−xAyM−yA) ainsi AM(x−2y−1) d'où : AM(x−2y−1) De plus : 2AC(−3×23×2) ainsi 2AC(−66). Or nous savons que : AM=2AC. Il vient alors que : (x−2y−1)=(−66) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {x−2y−1==−66 Ainsi : {xy==−6+26+1
{xy==−47
Les coordonnées du point M sont alors M(−4;7)
2
Déterminer les coordonnées du point P tel que BP=AB+AC.
Correction
Notons P(x;y) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs AB ; AC et BP. AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(3−20−1) d'où : AB(1−1) AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−1−24−1) d'où : AC(−33) BP(xP−xByP−yB) ainsi BP(x−3y−0) d'où : BP(x−3y) Enfin calculons : AB+AC=(1−1)+(−33)=(−22) Or nous savons que BP=AB+AC. Il vient alors que : (x−3y)=(−22) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {x−3y==−22 Ainsi : {xy==−2+32
{xy==12
Les coordonnées du point M sont alors P(1;2)
Exercice 2
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(2;1) ; B(3;2) ; C(−2;−3) et D(8;−13).
1
Montrer que les points A,B et C sont alignés.
Correction
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si les vecteurs AB et ACsont colinéaires.
On commence par calculer les vecteurs AB et AC. Ainsi : AB(xB−xAyB−yA) ainsi AB(3−22−1) d'où : AB(11) AC(xC−xAyC−yA) ainsi AC(−2−2−3−1) d'où : AC(−4−4) Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Soit (0;i;j) un repère du plan.
Deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0 autrement dit si : xy′−x′y=0.
det(u;v)=xy′−x′y est appelé deˊterminant.
On peut également écrire les vecteurs u et v sous la forme u(xy) et v(x′y′).
On a : 1×(−4)−1×(−4)=−4+4=0 Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Donc les points A, B et C sont alignés.
Soit M le point tel que BM=51BD
2
Démontrer par le calcul que les coordonnées de M sont (4;−1).
Correction
Notons M(x;y) les coordonnées du point recherché. Commençons par calculer les vecteurs BD et BM. BD(xD−xByD−yB) ainsi BD(8−3−13−2) d'où : BD(5−15) BM(xM−xByM−yB) ainsi BM(x−3y−2) d'où : BM(x−3y−2) De plus : 51BD(5×51−15×51) ainsi 51BD(1−3). Or nous savons que : BM=51BD. Il vient alors que : (x−3y−2)=(1−3) On obtient alors deux équations à résoudre. Nous l'écrivons sous forme de système. {x−3y−2==1−3 Ainsi : {xy==1+3−3+2
{xy==4−1
Les coordonnées du point M sont alors M(4;−1)
3
Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [CM].
Correction
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xK=2xC+xM équivaut successivement à : xK=2−2+4 xK=22
xK=1
D’autre part : yK=2yC+yM yK=2−3−1 yK=2−4
yK=−2
Les coordonnées du milieu K du segment [CM] sont K(1;−2)
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